Рассмотрим давление жидкости на непроницаемую криволинейную поверхность.Так как поверхность пластинки криволинейна, то силы dp образуют систему непараллельных сил. Такая система в общем случае приводится к главному вектору и одной паре сил. Разложим каждую элементарную силу dP на три составляющие по координатным осям.
,
где a, b и g - углы наклона элементарных сил dP к координатным осям, различные для разных площадок dw.
Суммируя проекции элементарных сил, найдем соответствующие проекции равнодействующей силы R:
Rx = S pdw cos a;
Ry = S pdw cos b;
Rz = S pdw cos g.
Силу R можем определить следующим образом
,
а направление линии ее действия найдем по направляющим косинусам cosa = Rx/R;
cosb = Ry/R;
cosg = Rz/R.
Величины проекций элементарной силы dR запишутся в виде
dRx = pdw cos a = pdwx;
dRy = pdw cos b = pdwy;
dRz = pdw cos g = pdwz,.
где dwx, dwy, dwz - проекции площадки dw на плоскости, перпендикулярные осям Ох, Оy, Oz.
Интегрируя, записанные выше выражения, получаем
.
Записанный интеграл представляет собой силу давления жидкости на всю плоскую площадку wх, поэтому
|
|
,
где hс¢ - глубина погружения центра тяжести площади wх под уровень свободной поверхности.
По аналогии
Ry = ghc²wy.
Вертикальная проекция силы R определится, как
,
где h - глубина погружения площадки dwz под уровень свободной поверхности.
Произведение hdwz можно рассматривать как элементарный объем dW.
Тогда
,
где W - объем тела, построенного на криволинейной площадке.
Следовательно, сила Rz равна весу жидкости в объеме вертикального столба, опирающегося на заданную криволинейную поверхность и ограниченного плоскостью свободной поверхности.