Полученное им во втором приближении решение

,

где m выбирается соответствующим образом, верно математически, но неверно физически, так как величины m и k между собой, как правило, не соизмеримы и функция не будет периодической. Поэтому вместо члена должен стоять .

Остроградский, ограничившись в своей статье получением первого приближения, в конце нее высказал намерение приложить этот метод к движению планет вокруг Солнца. Именно в работах по определению орбит небесных тел идея основоположника российской школы математики получила дальнейшее развитие. Одним из первых таких трудов явилось исследование по теории возмущений шведского ученого А. Линстедта, работавшего в 1879–1886 гг. в Дерптском университете. В 1882 г. он предложил способ решения уравнения (8), опубликованный в статье «Об интегрировании дифференциальных уравнений теории возмущений» в Мемуарах Петербургской Академии Наук. Его подход состоит в том, что при поиске периодического решения уравнения (8) вводится новая переменная , а затем q и p ищутся в виде разложения по степеням малого параметра.

; (10)

Первый в член разложении – представляет собой частоту линейных колебаний, соответствующую значению , а последующие – подбираются из условия отсутствия секулярных членов. Подставляя разложение (10) в уравнение (8) после несложных преобразований можно получить приближенное решение. Например, с точностью до членов порядка оно имеет вид

;

.

Следует отметить, что при частота колебаний растет, а при – убывает, а спектр разложения будет содержать только нечетные гармоники. На рис. 3. приводится сравнение решений уравнения Дуффинга вида

при начальных условиях

,

полученное с точностью до второго приближения методом прямого разложения по малому параметру

и методом Линстедта – Пуанкаре.

Рис. 3. Решение уравнения Дуффинга: жирная сплошная линия –

точное решение, тонкая линия – метод прямого разложения по малому

параметру и черные точки – метод Линстедта – Пуанкаре

Весомый вклад в борьбе с секулярными членами в разложении решения внесли шведские астрономы Карл Болин (1889) и Иоганн Аугуст Гуго Гюльден (1893), которые усовершенствовали методику Линстедта. Динамические системы, рассматриваемые в астрономической теории возмущений консервативны, а в технике, как правило, нужно учитывать затухание и наличие источников энергии. В связи с этим методы астрономической теории возмущений не могут быть непосредственно перенесены в нелинейную механику.

Несмотря на то, что различные проблемы из области теории нелинейных колебаний были предметом исследования почти с самого начала исчисления бесконечно малых, строгие математические методы для исследования периодических решений нелинейных уравнений были впервые построены только в конце XIX века в бессмертных трудах А. Пуанкаре и А. М. Ляпунова. В трехтомном сочинении А. Пуанкаре «Новые методы небесной механики», изданной в 1892–1897 гг. содержится исследование сходимости приведенных рядов. Он анализирует понятие сходимости и дает определение асимптотического ряда. Пуанкаре предлагает считать сходящимся ряд, у которого быстро убывают первые члены, что особенно важно при решении практических задач. Вот как писал о вкладе А. Пуанкаре в развитие асимптотического анализа академик Н. Н. Моисеев: «Идеи асимптотического анализа появились очень давно. Но превращению их в самостоятельное направление математики, созданию культуры «асимптотического мышления» мы обязаны А. Пуанкаре. Его роль еще недостаточно оценена. Создание асимптотического анализа, создание основ топологии и качественной теории дифференциальных уравнений, открытие того, что математика – это, прежде всего, наука о качественном, и что число это всего лишь один из способов выражения качества, одна из качественных характеристик, и, наконец, открытие специальной теории относительности. Никто после Ньютона не дал человечеству так много идей и так много новых фактов».