Т°. Если существуют и конечны пределы стоящие справа в следующих равенствах, то также существуют и конечны пределы, стоящие слева и равенства выполняются:
10.,
20.,
30.если .
∆ 10. Пусть , .
Тогда и , где .
Следовательно: и j(x) бесконечно мала.
Значит .
20,30 доказываются аналогично. ▲
Т°. (о пределе сложной функции).
Пусть ; . Тогда .
∆ По условию теоремы: Û " U c ,
Û " Ub .
Получаем:
" U c
что и т. д.▲
Def. Действия с несобственными элементами:
* * *
* * *
* (если ) *
*е. , е.
* * е. * е., е. .
∆. Докажем например что
Пусть и
Тогда ,
и .
Теперь возьмём .
Получим:
что и т. д.
аналогично доказываются остальные соотношения.▲
Введя операции над несобственными элементами, обратим внимание на то, что не всяким действиям с несобственными элементами даны определения. В таких случаях говорят, что мы имеем дело с неопределенностями. Неопределенностями они называются потому, что результат этих действий может быть различным в зависимости от величин учавствующих в операции.
Рассматривается (пока) четыре типа неопределённостей:
¥-¥, 0×¥, , .
Первые две неопределённости сводятся, путем арифметических преобразований, к последним двум, а для раскрытия последних двух предназначено правило Лопиталя:
Правило: Если функции и обе стремятся к нулю или бесконечности, то предел отношения функций равен пределу отношения производных этих функций, если предел стоящий справа существует и конечен. Ü| . ∆ ▲
Конечно, такая формулировка правила Лопиталя, мягко говоря, оставляет желать лучшего. Аккуратная формулировка и доказательство этого, очень важного и удобного в применении правила будет приведено несколько позже, по мере нашей готовности к этому. Формулировка же приводится для того, чтобы позволить применять это правило, пусть и в весьма приблизительном виде, для вычисления пределов.