Каждая тригонометрическая функция имеет свой гиперболический аналог.
.
.
, .
На рисунке слева приводятся графики гиперболических синуса (сплошная линия) и косинуса (пунктирная линия). Тонкой пунктирной линией построен график функции и симметричные ему относительно оси абсцисс и оси ординат.
На рисунке справа приводятся графики гиперболических тангенса (сплошная линия) и котангенса (пунктирная линия). Тонкой пунктирной линией построен график функций .
Для всех введенных гиперболических функций (для y = ch x отдельно для х > 0 и отдельно для x < 0) существуют обратные функции.
Найдем обратные функции к гиперболическим функциям:
1°. Þ Þ
ÞÞ .
2°. Þ Þ
Þ () Þ .
Получили две однозначные ветви обратной функции.
3°. Þ
= (если ).
4°. Þ Þ Þ (если ).
5°. Из 3°. и 4°.: .
Ниже приводятся графики обратных гиперболических функций:
Слева приведены графики функций обратных гиперболическому синусу (сплошной линией) и косинусу (пунктирной линией), причем во втором случае приводятся обе ветви: одна выше а другая ниже оси абсцисс.
|
|
Справа приведены графики функций обратных гиперболическому тангенсу (сплошной линией) и котангенсу (пунктирной линией).
§. Равномерная непрерывность
Def. Функция называется равномерно непрерывной на множестве Х, если
.
Из определения равномерной непрерывности функции на множестве следует, что функция непрерывна в каждой точке этого множества, но не наоборот.
Примеры:
1°. . Функция- непрерывна на . Однако:
,
т.е. не является равномерно непрерывной на промежутке .
2°. , Функция - непрерывна на . Но, если положить
то получим:
,
и при этом: .
Из этого делаем заключение о том, что функция не является равномерно непрерывной на .
Т° Кантора (о равномерной непрерывности). Если функция непрерывна на замкнутом промежутке то она равномерно непрерывна на нём.
∆ Пустьфункциянепрерывна на замкнутом промежутке . Тогда:
.
Множество всех дельта-окрестностей точек промежутка образует открытое покрытие замкнутого промежутка . Выделив из этого покрытия конечное подпокрытие получим: - конечное подпокрытие.
Положим . Тогда:
Þ Þ
.▲