2014-02-24
429
Т°. Если функции f (x) и g (x) дифференцируемы в проколотой окрестности некоторой точки 
на расширенной числовой прямой, где производная второй из них отлична от нуля и в т. : 1) либо 
, 2) либо 
.
Тогда 
. Знак 
означает что, если предел, стоящий справа от этого знака существует и конечен, то существует, конечен и равен ему и предел стоящий слева от знака.
D Ограничимся доказательством в случае
1). 
. Доопределим функции f (x) и g(x) в точке следующим образом: f () = 0; g () = 0. Тогда, по теореме Коши: 
.
Отсюда следует утверждение теоремы. При х ® ¥ замена t = 1/ x позволяет свести доказательство к только что проведенному. ▲
