Матричный способ решения систем линейных уравнений
Формулы Крамера
Угол между прямой и плоскостью
Угол между двумя плоскостями
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Расстояние от точки до плоскости
Нормальное уравнение плоскости
Уравнение плоскости в отрезках
Общее уравнение плоскости
Направлении.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Угол между двумя прямыми
Каноническое уравнение прямой на плоскости
Уравнение прямой в отрезках
Общее уравнение прямой на плоскости
Тема 10.
Тема 11.
Швейцарский математик Георг Крамер (1704-1752) вывел следующие формулы решения систем линейных уравнений с неизвестными:
1) составляем определитель системы, если;
2) составляем вспомогательные определители;
3) применяем формулы:
,, и т.д..
Если, то система либо несовместная, либо неопределенная, имеющая бесчисленное множество решений.
Сущность матричного способа решения систем линейных уравнений состоит в том, что составляется три матрицы
;;.
Можем составить матричное уравнение откуда,
где – обратная матрица, а,, – решения системы.
Правило:
1) составляем матрицы, и;
2) если, то составляем – обратную матрицу;
3) выполнив умножение и получаем, элементы которой – решение системы.
Систему линейных уравнений с неизвестными,, …, можно решить методом исключения неизвестных. Если, то умножая первое уравнение на и прибавляя ко второму, получаем уравнение, которое не содержит. Умножая первое уравнение на и прибавляя к третьему получаем уравнение, также не содержащее. Аналогичным путем преобразуем все остальные уравнения, в результате чего придем к системе, эквивалентной исходной, но не содержащей в уравнении. Полагая и проводя аналогичные преобразования получим систему эквивалентную исходной, но в уравнение не содержащую. Выполнив ряд аналогичных действий, получим, что в последнем уравнении содержится только. Таким образом, – находим из последнего уравнения, – из предпоследнего, и т.д., а – из первого.
Метод последовательного исключения неизвестных применим к любой системе линейных уравнений.
(Применение в экономике)
Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества еще со времен своего возникновения пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вбирает в себя большое количество математических методов. Исходя из этого преподавание математики студентам экономических специальностей должно опираться не только на накопление математических знаний, но и на усиление прикладной экономической направленности.
При изучении линейной алгебры у студентов не должно формироваться ощущение оторванности этой темы от экономики. Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно актуальным этот вопрос стал при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.
Рассмотрим одну из основных моделей макроэкономики, которая была описана в 1936 г. американским экономистом В.В. Леонтьевым.
Для простоты будем полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Обозначим через xi объем продукции i -ой отрасли (валовый выпуск); xij – объем продукции i -ой отрасли, потребляемый j -ой отраслью при производстве продукции xj; yi – объем продукции i -ой отрасли, предназначенный для реализации в непроизводственной сфере, т.е. продукт конечного потребления; aij = - коэффициенты прямых затрат, объем потребления j -ой отраслью продукции i -ой отрасли при производстве объема xj. Леонтьев отметил, что в течение длительного времени величины меняются очень слабо и могут рассматриваться как постоянные числа, зависящие от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска:
xij = aij × xj (i, j = 1, 2, …, n),
вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.
Так как валовый объем продукции любой i -ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то
(i = 1, 2, … n)
или
(i = 1, 2, … n).
Эти уравнения называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостной межотраслевой баланс, когда все величины имеют стоимостное выражение. Запишем систему балансовых соотношений одним матричным выражением:
АХ + Y = Х,
где А – структурная (технологическая) матрица, матрица коэффициентов прямых затрат, Х – вектор валового выпуска; Y – вектор конечного продукта.
Само уравнение носит название модели Леонтьева или уравнения линейного межотраслевого баланса.
Это уравнение можно использовать в двух целях. В первом случае по известному вектору валового выпуска Х требуется рассчитать вектор конечного потребления Y. Переписываем последние уравнение в виде:. Во втором случае, если матрица (Е – А) невырожденная, т.е., то по известному вектору конечного потребления Y можно определить вектор валового выпуска Х, по формуле:
.
Матрица называется матрицей полных затрат, элементы которой Sij – величины валового выпуска продукции i -ой отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечной продукции j -ой отрасли. В соответствии с экономическим смыслом задачи все элементы матрицы А, S и векторов X и Y должны быть неотрицательны. Т.е. матрица А должна быть продуктивной (сумма элементов по любому ряду не превосходит 1).
Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матрица, является процесс взаимных закупок товаров. Рассматриваем структурную матрицу торговли А = (aij) для которой, тогда для вектора бюджетов Х, каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны, справедливо:
АХ = Х.
Это означает, что собственный вектор структурной матрицы А, отвечающий ее собственному значению l = 1, состоит из бюджетов стран бездефицитной торговли. Этот вектор можно определить из уравнения
(А – Е) × Х =.
Приведенные нами только самые основные задачи показывают, что знание элементов линейной алгебры, умение оперировать с матрицами и обратными матрицами, умение решать системы линейных уравнений являются важными и позволяют решать реальные экономические задачи.
Тема 12.
Опр.19.1.1. Комплексным числом z будем называть упорядоченную пару действительных чисел x, y записанную в форме z = x + iy, где i - новый объект ("мнимая единица"), для которого при вычислениях полагаем i 2 = -1.
Первая компонента комплексного числа z, действительное число x, называется действительной частью числа z, это обозначается так: x = Re z; вторая компонента, действительное число y, называется мнимой частью числа z: xy = Im z.
Опр.19.1.2. Два комплексных числа z 1 = x 1 + iy 1 и z 2 = x 2 + iy 2 равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:.
Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чисел не вводятся отношения "больше" или "меньше".
Геометрически комплексное число z = x + iy изображается как точка с координатами (x, y) на плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью С.
Опр.19.1.3. Суммой двух комплексных чисел z 1 = x 1 + iy 1 и z 2 = x 2 + iy 2 называется комплексное число z, определяемое соотношением z =(x 1 + x 2) + (y 1 + y 2) i, т.е. Re(z 1 + z 2) = Re z 1 + Re z 2, Im(z 1 + z 2) = Im z 1 + Im z 2.
Это означает, что геометрически комплексные числа складываются как векторы на плоскости, покоординатно.
Опр.19.1.4. Произведением двух комплексных чисел z 1 = x 1 + iy 1 и z 2 = x 2 + iy 2 называется комплексное число z, определяемое соотношением z = (x 1 x 2 - y 1 y 2) + (x 1 y 2 + x 2 y 1) i, т.е.
Re(z 1 z 2) = Re z 1 Re z 2 – Im z 1 Im z 2; Im(z 1 z 2) = Re z 1 Im z 2 + Im z 1 Re z 2.
19.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Запись комплексного числа в виде z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа. Изобразим число z как точку на плоскости с декартовыми координатами x, y. Если теперь перейти к полярным координатам, то, поэтому. Угол называется аргументом комплексного числа z и обозначается:. Аргумент комплексного числа определён неоднозначно (с точностью до слагаемых, кратных): если, например,, то значения, равные и т.д. тоже будут соответствовать числу z; значение аргумента, удовлетворяющее условиям, называют главным; для обозначения всех значений аргумента комплексного числа z применяется символ:.
Запись комплексного числа в виде называется тригонометрической формой числа.
Переход от тригонометрической формы к алгебраической очевиден:.
19.1.3. Показательная форма комплексного числа. Ряд Маклорена для функции сходится к функции при любом действительном х. Формально запишем это разложение для:
Степени числа i: i 2 = -1; i 3 = i 2 i = - i ; i 4 = i 2 i 2 = 1 ; i 5 = i 4 i = i ; i 6 = i 2 = -1; далее значения степеней повторяются (для отрицательных степеней это тоже справедливо: i -1 = - i ; i - 2 = -1; i - 3 = i ; i -4 = 1 ; и т.д.). Поэтому. В круглых скобках стоят ряды для и, которые сходятся для любого действительного; поэтому получаем. Эта формула называется формулой Эйлера. Теперь любое комплексное число можно представить как; эта форма записи называется показательной.
Тема 13.
14.1. Основные понятия.
14.1.1. Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и его решения. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции
y = f (x) и её производных (или дифференциалов):
; (1)
(все три переменные x, y, F - действительны).
Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).
Пример: y (4) – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка.
Опр. Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция, удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество.
Так, функция y (x) = ex + x обращает уравнение: y (4) – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y (4)(x) = ex; ex –(ex + x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y (x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.
Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение
, (2)
что: 1. Любое решение (2) относительно y (для набора постоянных C 1, C 2, …, Cn из некоторой области n -мерного пространства) - частное решение уравнения (1);
2. Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C 1, C 2, …, Cn.
Мы будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной:
; (3)
и получать общее решение в форме
, (4)
решённой относительно неизвестной функции.
14.2.3. Задача Коши (задача с начальным условием). Пусть функция f (x, y) определена в области D, точка. Требуется найти решение уравнения
, (8)
удовлетворяющее начальному условию
y (x 0) = y 0; (9)
(начальное условие (9) часто записывают в форме).
Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области D функция f (x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную, то для любой точки в окрестности точки x 0 существует единственное решение задачи ((8),(9)).
Мы примем эту теорему без доказательства. На самом деле для существования решения в окрестности точки x 0 достаточно только непрерывности функции f (x, y); условие непрерывности обеспечивает единственность этого решения.
14.2. ОДУ первого порядка.
14.2.1. Как следует из определения 14.1.1, обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение
, (5)
где x - независимая переменная, y (x) - неизвестная функция. В форме, разрешённой относительно производной, уравнение первого порядка записывается так:
. (6)
Если пользоваться другим обозначением производной, то можно записать (6) как
.
Модели экономического роста, экономической динамики – экономико-математические модели, описывающие в математической форме изменение во времени экономических показателей, характеризующих развитие, рост экономики в целом, ее отраслей, отдельных экономических объектов.
14.3. Решение некоторых типов ОДУ первого порядка.