Непрерывные функции и их свойства. Точка разрыва функций и их классификация.
Пусть функция y=f(x) определена в точке х0 и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:
Это означает:
- функция определена в точке х0 и в ее окрестности;
- функция имеет предел при х→х0
- предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство.
Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функции f(x) вместо аргумента х подставить предельное значение х0
Точки разрыва функции – это точки в которых нарушается непрерывность функции.
Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 1 рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы)
и
При этом, если:
- А1=А2 то точка х0 называется точкой устранимого разрыва;
- А1≠А2 то точка х0 называется точкой конечного разрыва.
|
|
|A1 – A2| называется скачком функции.
Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 2 рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует, либо равен бесконечности.
Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда аргумент стремится к нулю.
Производная функции f(x) есть некоторая функция
f ’(x), произведенная из данной функции.
Функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) называется дифференцируемой в этом интервале.
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Дифференциал функции y=f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x)).
Иначе. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.