Уравнение Шредингера для атома водорода

Самой простой задачей квантовой механики является задача о движении электрона в кулоновском поле ядра. Это задача об атоме водорода и водорода подобных ионов: однократно ионизированный гелий и однократно ионизированный литий.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром:

(1)

где - заряд ядра (для атома водорода ), - расстояние между электроном и ядром.

Графически функция изображена на рис.1. С уменьшением функция убывает (возрастает по модулю).

Рис.1.

Состояние электрон в атоме водорода описывается волновой функцией , удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера, учитывающему выражение (1):

(2)

где - масса электрона, а - полная энергия электрона в атоме.

Уравнение (2) имеет решения, удовлетворяющие требования однозначности, конечности и непрерывности волновой функции только при следующих собственных значениях энергии:

, (

1, 2, 3,…).

(3)

Таким образом, из решения уравнения Шредингера следует, что энергия электрона в атоме квантуется. Формула (3) дает набор дискретных значений энергии, совпадающими со значениями энергии, найденными из спектров. Возможные значения показаны на рис.1. в виде горизонтальных прямых. Самый низкий уровень энергии называется основным, все остальные – возбужденными. При движение электрона является связанным: по мере роста главного квантового числа энергетические уровни располагаются теснее и при . При движение электрона является свободным. Область непрерывного спектра соответствует ионизированному атому. Энергия ионизации атома водорода равна: