10.
Определение 1. Уравнение прямой называется нормальнымуравнением этой прямой, если (то есть нормальный вектор является единичным (ортом)).
Очевидно, любое общее уравнение прямой можно привести к нормальному (нормальной форме).
Для этого обе части общего уравнения надо умножить на некоторое число: и выбрать так, чтобы вектор был единичным, отсюда.
Число называется нормирующим множителем.
Легко видеть, что, так как.
Пусть прямая задана нормальным уравнением:, где < 0,. (Этого всегда можно добиться, умножив обе части уравнения прямой на -1). Начало координат лежит в отрицательной полуплоскости от прямой. Значит,, где основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Поэтому, тогда, - расстояние от начала координат до прямой.
Тогда имеем уравнение:
, где. (1)
Определение 2. Угол называется полярным углом нормали данной прямой.
Теорема. При подстановке в левую часть уравнения (1) координат любой точки плоскости получается число, равное с точностью до знака расстоянию этой точки до прямой.
|
|
Доказательство.
Пусть - произвольная точка данной прямой, тогда
. (2)
и уравнение прямой можно представить в виде:
. (3)
Для этого достаточно вычесть из уравнения (1) уравнение (2).
Пусть теперь - произвольная точка плоскости, не принадлежащая прямой. Подставим ее координаты в левую часть уравнения (3):
. (4)
где - нормальный вектор прямой.
Обозначим.
Тогда получаем:
.
Таким образом, действительно, при подстановке координат точки в левую часть уравнения (1) получается с точностью до знака расстояние точки до прямой.
Теорема доказана.
Замечание. Знак выражения зависит от того, как направлены векторы и (в одну полуплоскость, или в разные). Поэтому для точек одной полуплоскости это скалярное произведение положительно, а для другой – отрицательно.
20. Выведем полярное уравнение прямой, не проходящей через полюс, заданной в системе координат нормальным уравнением … (1).
Для этого воспользуемся формулами преобразования полярных координат в декартовы:
Подставив значения и в нормальное уравнение прямой, получим:
.
Отсюда получаем полярное уравнение данной прямой:
. (5)
Если же прямая проходит через полюс, то её задают уравнения и.
Замечание 2. В уравнении (5) и являются полярными координатами произвольной точки прямой, - расстояние прямой от полюса, полярный угол нормали.
,.
30.
Определение 3. Пучком прямых с центром называется совокупность прямых плоскости, проходящих через точку А.
Пусть даны уравнения двух прямых пучка:
. (1)
. (2)
где.
Рассмотрим уравнение:
. (3)
где и могут принимать любые значения, одновременно не равные нулю. Это уравнение линейное, а значит, является уравнением некоторой прямой. Координаты точки пересечения данных прямых удовлетворяют уравнению (3), так как обе данные прямые проходят через центр пучка, то есть координаты точки удовлетворяют уравнениям (1) и (2).
|
|
Более того, оказывается, что числа и всегда можно подобрать так, чтобы уравнение (3) определяло бы любую (заранее назначенную) прямую пучка с центром. Поэтому уравнение (3) называется уравнением пучка прямых с центром.
Например, при, получается прямая с уравнением (1), а при, - прямая с уравнением (2).
Если положить,, то получим уравнение:
. (4)
Этим уравнением можно определить любую прямую пучка с центром А, кроме прямой (2).
Пример. Даны уравнения сторон треугольника ABC:
AB:;
AC:;
BC:.
Найти уравнение высоты AD (прямой, на которой лежит эта высота).
Решение.
1 способ.
1) Рассмотрим пучок прямых с центром, затем уравнение прямой AD этого пучка (искомой прямой - высоты) в виде (4): или (5).
2) Находим значение из условия перпендикулярности прямых AD и BC:
.
3) Уравнение высоты AD имеет вид: или.
2 способ.
1) Находим точку:.
2) Далее поступаем, как и в примере из §12 перед теоремой 2.