Теорема 6.
Векторное произведение векторов
Определение 1. Векторным произведением двух ненулевых неколлинеарных векторов называется вектор, такой что:
1) длина вектора равна произведению длин этих векторов на синус угла между ними:
2) вектор перпендикулярен этим векторам и
3) векторы, образуют базис того же типа, что и векторы (правый базис).
Если же векторы коллинеарны или хотя бы один из них нулевой вектор, то их векторное произведение есть нулевой вектор
Обозначение: или
Средний палец |
Большой палец правой руки |
Указательный палец |
Теорема 1. (О геометрическом смысле векторного произведения). Длина векторного произведения двух ненулевых неколлинеарных векторов равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Доказательство.
Следствие. Площадь ∆ C выражается формулой:
Теорема доказана.
Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было нулевым вектором:
|
|
Доказательство.
Необходимость. Пусть, тогда согласно определению 1 либо, либо, либо, либо, либо. Во всех этих случаях вектора коллинеарны по определению.
Достаточность. Пусть, тогда снова по определению 1
Теорема доказана.
Следующие три теоремы сформулируем без доказательства.
Теорема 3. Векторное произведение антикоммутативно (антисимметрично):
Теорема 4. Векторное произведение ассоциативно относительно скалярного множителя:
Теорема 5. Векторное произведение дистрибутивно относительно суммы векторов:
Доказательство.
Доказательство следует из определения 1.
Пусть, например,, тогда имеем:
⟹ ⟹.
Замечание. Достаточно запомнить первую формулу, вторая получается из первой, а третья – из второй с помощью круговой или циклической замены векторов
Теорема 7. (О координатах векторного произведения). Если в прямоугольном базисе (ортогональном) (и, то
Доказательство.
Воспользуемся определением координат вектора и теоремами 3, 4, 5 и 6:
(см. определение определителя 3-его порядка)
Теорема доказана.
Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(-1,0,-1), В(0,2,-3), С(4,4,1).
Решение.
,
По следствию из теоремы 1 имеем: (кв.ед.).
Определение 1. Смешанным произведением трёх векторов называется число, равное скалярному произведению векторного произведения векторов на вектор.
Обозначение. (
Можно показать, что
Теорема 1. Абсолютная величина (модуль) смешанного произведения трёх неколлинеарных векторов равна объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.
|
|
Доказательство.
Введём обозначения:, ∠(
Тогда имеем:
((1)
По теореме 1 из §2 имеем:
(2)
Пусть - высота параллелепипеда (.
Из ∆
Случай 1:
Случай 2:
В обоих случаях получаем:
. (3)
Подставляя значения (2) и (3) в формулу (1), окончательно получаем:
(
Итак,
. (4)
Теорема доказана.