2014-02-24
1402
При расчете цепей переменного тока часто приходится суммировать (или вычитать) несколько однородных синусоидально изменяющихся величин одной и той же частоты ƒ, но имеющих разные амплитуды (Im, Em, Um) и начальные фазы (ψi, ψu, ψe).
Такую задачу можно решать аналитическим путем тригонометрических преобразований или геометрически.
Геометрический метод более прост и нагляден, чем аналитический.
Синусоидальную величину (например, u = Um cos(ωt + ψu) изображают в виде радиуса-вектора 
(см. рис.10), иногда просто Um или U, или вектором на комплексной плоскости, тогда между гармонической величиной и вектором на комплексной плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие, которое записывается в виде u→Umej(ωt+α) = ů-комплексное мгновенное значение.
ω
Ūm
ψ
Рис.10
ψ – угол, образованный 
Um с осью Х в начальный момент времени, называемый начальной фазой. Вектор Um вращается в заданной плоскости вокруг точки О с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте ω, против часовой стрелки. Причем проекция этого вектора на ось «х» в любой момент времени и определеяет гармоническую величину Пр(Um)х = Um cos(ωt + ψu). Направление вектора не указывает направление действия напряжение (или тока и э.д.с.). Это его отличие от векторов в механике, которыми обозначаются величина и направление силы, скорости, ускорения.
|
|
|
Сумма двух синусоидальных величин изображается суммой векторов, изображающих отдельные слагаемые, а линейная комбинация нескольких синусоидальных величин – соответствующей линейной комбинацией векторов. Такое изображение синусоидальных величин называется векторной диаграммой. При построении векторных диаграмм один из векторов – исходный располагают произвольно, другие векторы – под соответствующими углами к исходному.
Пусть необходимо сложить две гармонические функции с одинаковым периодом, но разными начальными фазами (см.рис.11):
u1 = Um1 cos (ωt + α1) и u2 = Um2 cos (ωt + α2).
Рис.11
По известному правилу сложения векторов можно получить вектор 
, изображающий сумму обеих функций u1(t) и u2(t), как геометрическую сумму векторов 
, изображающих эти функции. Все три векторы вращаются одновременно с угловой скоростью ω. Поэтому практически всегда изображают относительное расположение векторов и осей в момент t = 0.
Геометрическое построение, описанное выше, определяет амплитуду ОМ = Um, фазу α
Часто нужно вычислять производную или интегралы гармонических функций времени типа u(t) = Umcos(ωt + α). Имеем
.
