Функция эффективности

Рассмотренные способы выражения предпочтений ЛПР предполагают предъявление ему некоторого ограни­ченного контрольного множества эле­ментов из D с целью прямого их оце­нивания по предпочтительности. Из этого следует, что выявленное отно­шение предпочтения R (четкое или нечеткое) относится только к предъ­явленным элементам. Если нужно установить предпочтения ЛПР на других элементах, входящих во мно­жество D, то необходимо сформиро­вать новое контрольное предъявление и вновь провести оценивание пред­почтений. Такая процедура должна повторяться до полного исчерпания множества D, что практически не­возможно по двум причинам. Во-первых, множество D может иметь мощ­ность континуума, а во-вторых, даже если множество D конечно, ЛПР не всегда может длительно консуль­тироваться с исследователем.

Использование выборочного метода и выполнение ряда предпосылок поз­воляют преодолеть указанные труд­ности. Отношение ЛПР, выявленное по результатам контрольного предъ­явления множества элементов, ап­проксимируют некоторой числовой функцией, которая каждому элементу d D ставит в соответствие действи­тельное число, величина которого сог­ласуется с представлением ЛПР о сте­пени предпочтительности данного эле­мента (по достижении цели операции, условиям ее проведения, затратам и т. п., характеристикам каждого эле­мента d D). Такую функцию назы­вают функцией эффективности. С помощью этой функции уже без не­посредственного привлечения ЛПР может решаться задача выбора.

В качестве функции эффективности можно рассматривать любое соответ­ствие (функцию, функционал, опера­тор), для которого выполняется соот­ношение

(2.1)

где R — отношение нестрогого пред­почтения на D (четкое или нечеткое); W_e (d) — значение функции эффек­тивности.

Если в (2.1) неравенство строгое, то d' d" (или d'Rd"), если нера­венство выполняется как равенство, то d' ~d" (или d'R~d"). Более предпо­чтительному элементу в этом случае приписывается большее значение функ­ции эффективности.

Численное представление функции эффективности[1], как следует из (2.1), возможно в том случае, если отноше­ние: a) R — связно; б) R — транзитивно в) R — асимметрично и при этом г) предпочтения на множестве D не изменяются скачком.

Требование а указывает на обяза­тельную сравнимость любых двух элементов d', d" D. Предпочтения ЛПР должны быть согласованы (не­противоречивы), что означает транзи­тивность отношения. Улучшение от­дельных характеристик элемента d D должно приводить к различию в оценке его предпочтительности. Вы­полнение этого условия должно при­водить к асимметрии отношения R и монотонности функции эффектив­ности. Таким образом, из третьего требования вытекает, что для любого элемента d достаточно малое изменение одной из его характеристик в смысле улучшения может быть компенсиро­вано определенным изменением другой характеристики, что приводит к экви­валентности исходного и полученного таким образом нового элемента. Усло­вие ~ требует наличия именно такого свойства у отношения R.

Каждый элемент dD описывается определенным набором характеристик х = (x₁, x₂, x₃,..., x_n0). Тогда любой элемент d D можно представить точкой в пространстве характеристик X = Х₁ X Х₂ X... X Х_n0, где X_i - шкала i-й характеристики i = 1, n₀, а каждой точке поставить в соответ­ствие значение функции эффективности. При выполнении условий а—г отно­шение нестрогого предпочтения R — квазипорядок, а это указывает на существование эквивалентных элемен­тов, то есть поверхностей равноценности для заданного уровня функции эф­фективности:

(2.2)

Построение функции эффективности представляет самостоятельную задачу. Не всегда эта задача имеет решение. Тогда применяют другие эвристиче­ские методы, позволяющие осуществить выбор.

Так как по (2.1) большие значения функции эффективности соответст­вуют более предпочтительным эле­ментам, то задачу выбора наилучшего элемента d* D (или получения мно­жества D* таких элементов) можно рассматривать как обычную задачу оп­тимизации:

(2.3)

Из (2.1) также следует, что функ­ция эффективности полностью задает структуру предпочтений ЛПР (отно­шение R). Однако структуру предпо­чтений можно описать целым классом функций, удовлетворяющих (2.1), то есть функция эффективности определяется с точностью до монотонного преобра­зования и, следовательно, имеет по­рядковую шкалу.

В качестве характеристик исходов G (то есть D = G) используются частные показатели эффективности, надеж­ности, качества, которые должны иметь ясный физический смысл. Именно это требование позволяет ЛПР уяснить задачу выбора и упорядочить исходы по предпочтительности. Однако для агрегированной характеристики ис­хода — функции эффективности это требование не обязательно, что су­щественно упрощает решение задачи (2.3).

Если решением задачи (2.3) явля­ется множество наилучших элемен­тов D*, то для того чтобы провести окончательный выбор, необходимо привлечь дополнительную информа­цию от ЛПР, расширяющую исходное отношение предпочтения R. В каче­стве такой информации выступают све­дения о характеристиках исхода опера­ции, которые по какой-либо причине не были учтены при начальной поста­новке задачи. В конечном итоге вло­женность отношений R₁ R₂... R_t, а следовательно, и вложенность множеств приводят к тому, что на шаге t мно­жество D* оказывается достаточно узким и это позволяет осуществить однозначный выбор.