Даже такие достаточно развитые средства аппроксимации кривыми Безье не позволяют построить окружность:
, так как sin и cos для достаточно хорошего приближения требуют многочленов высокой степени, поэту вводится более широкий класс кривых, способ построения которых связан с представлением о проективном пространстве.
Рис. 15. Рациональная кривая Безье.
| Пусть у нас есть пространственная кривая Безье ,в системе координатOXYw, спроецируем все точки исходной кривой на плоскость w=1. Т.е.:
, где
(см. Рис. 15).
Полученная кривая, лежащая в плоскости w=1, и называется рациональной двумерной кривой Безье.
|
Аналогичным образом можно получать рациональные кривые Безье и в пространстве большего числа измерений.
будем называть опорными точками рациональной кривой Безье, а
- весовыми функциями.
Рассмотрим пример представления окружности составленной из 3-х рациональных кубических кривых Безье. Возьмем для примера один из сегментов. Положим
, а
Рис. 16. Сегмент окружности, представленный рациональной кривой Безье.
| , где R - радиус окружности.
|
Рис. 17. Изображение окружности.
| Итоговое изображение представлено на Рис. 17.
Отметим, что за рамками данной лекции остались не разобранными многие важные вопросы, требующие более тщательного рассмотрения. Среди них следует отметить:
1) B-Splines, являющиеся важным обобщением кривых Безье.
2) Rational B-Splines, обобщение рациональных кривых Безье, в том числе наиболее важным их подмножеством NURBS
(Non-Uniform Rational B-Splines), которые в настоящее время являются фактически общепризнанным стандартом представления кривых, так как позволяют наиболее точно передавать форму кривой.
3) Аналогичную теорию можно строить и для поверхностей, что находит не меньшее, а, возможно, и большее применение в приложениях.
Всех интересующихся описанием этих вопросов, а также тех, кто хотел бы узнать более подробно о вышеизложенном материале, отсылаем к замечательной книге [Роджерс, Адамс, 2001].
|