Лекция 9.
9.1. Вычисление длины кривой.
9.1.1. Пусть некоторая кривая является графиком функции,, для которой является непрерывной функцией на. Такие кривые называются гладкими.
Во-первых, мы должны дать определение длины кривой, во-вторых, указать способ ее вычисления.
Отрезок произвольным способом разобьем на n частей точками
Этому разбиению будет соответствовать некоторое разбиение кривой AB на n частей точками.
Соседние точки на кривой соединим отрезками, в результате получим ломаную. Длина К-того участка ломаной равна, где.
Длина l данной кривой приближенно равна длине ломаной, т.е..
За длину кривой принимают. Кривая, имеющая длину называется спрямляемой. Вычислять длину кривой с помощью определения неудобно. Далее дадим способ вычисления длины кривой с помощью определенного интеграла.
Т.к. по условию непрерывна на, то тоже непрерывна на. Поэтому на каждом из отрезков удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, по которой.
Поэтому,.
.
Выражение под знаком предела является интегральной суммой для функции. Следовательно,
|
|
. (1)
Мы предположили, что непрерывная функция на, поэтому подынтегральная функция непрерывна на и длина такой кривой существует, т.е. кривая спрямляема.
9.1.2. Пусть уравнение кривой задано параметрически, где и непрерывны на, причем.
Заметим, что в равенстве (1) выражение, стоящее под знаком интеграла, есть дифференциал длины кривой:. Дифференциал длины кривой, заданной параметрически, записывается в следующем виде:
, поэтому
(2)
9.1.3. Рассмотрим кривую, которая задана в полярной системе координат.
.
Напомним, что дифференциал дуги кривой в полярной системе координат имеет вид:, поэтому
. (3)
Пример. Вычислить длину кривой от точки до точки
По формуле (1) получаем:
Пример. Вычислить длину одной арки циклоиды
.
По формуле (2) получаем
Пример. Вычислить длину кардиоиды
Т.к. кардиоида симметрична относительно поляры OP, то достаточно найти длину кардиоиды при, а затем удвоить.
.
9.2. Вычисление площади поверхности тела вращения.
Пусть кривая AB задана параметрически
, (4)
где непрерывны на отрезке. В этом случае кривая AB спрямляема, т.е. имеет длину, которую обозначим µ. Точка A имеет координаты. Рассмотрим на кривой AB точку M с координатами. Дуга AM спрямляема, т.к. вся кривая AB спрямляема. Пусть l (t) длина дуги AM. Функция l (t) возрастает с возрастанием t. Через t=t(l) обозначим обратную функцию. Подставляя это значение в уравнение (4), получим:
(5)
, т.е. мы имеем параметрическое представление кривой, где за параметр принимается длина кривой l. Такое представление кривой бывает удобным во многих вопросах математики.
|
|
Пусть кривая AB задана уравнениями (5).
Дадим определение площади поверхности тела вращения.
Отрезок произвольным способом разобьем на n частей точками
Это разбиение обозначим через (T).,. Точкам, на кривой AB будут соответствовать точки. Полученные соседние точки соединим отрезками, в результате получим ломаную. Через S(T) обозначим площадь поверхности вращения ломаной вокруг оси OX.
Определение. Площадью S поверхности вращения кривой AB вокруг оси OX называется предел площади S(T) при.
Далее выведем формулу, позволяющую вычислять площадь поверхности вращения с помощью определенного интеграла.
С этой целью подсчитаем площадь S(T). Через обозначим длину отрезка. Поверхность вращения этого отрезка есть усеченный конус, радиусы основания которого равны, а длина образующей равна. Следовательно, площадь поверхности К-того усеченного конуса равна
, а (6)
Правая часть равенства (6) не является интегральной суммой, т.к. не является приращением аргумента l.
Выражение для S(T) преобразуем следующим образом:
(7)
Суммы, являются интегральными суммами для непрерывной функции. Поэтому
.
Покажем теперь, что предел последней суммы в равенстве (7) равен нулю при. Функция непрерывна и поэтому она ограничена:.
, (8)
где µ - длина кривой, а l (T), как и ранее, длина ломаной.
Отсюда
(9)
Из равенств (7), (8) и (9) следует:
.
Это и есть формула для вычисления площади поверхности вращения. При применении этой формулы надо найти длину кривой µ и найти функцию, что представляет определенные неудобства.
Для получения формулы, свободной от этих недостатков, перейдем к исходному заданию кривой в параметрической форме (4). Под знаком интеграла сделаем замену переменной:
, тогда будем иметь:
.
В частности, если уравнение кривой задано в явном виде,, - непрерывна, то, то
.
Пример. Вычислить площадь S поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды, вокруг оси OX.
Пример. Вычислить площадь S поверхности, полученной при вращении кривой, вокруг оси OX.
Пример. Вычислить площадь S поверхности, полученной при вращении кардиоиды, вокруг поляры OP.
В этом случае
Нам достаточно взять половину кардиоиды при и вращать ее вокруг поляры OP.
Литература:
1. Л.Д. Кудрявцев “Краткий курс математического анализа”, Москва, физматлит,2002 г., 400 с.
2. В.С. Зарубин и др. “Интегральное исчисление функций одного переменного” Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999 г., 528 с.
3. ”Сборник задач по математике для ВТУЗов” ред. А.В. Ефимов, Москва, физматлит, 2001 г., 485 с.