Освоения программы дисциплины

Контрольные вопросы для определения минимального уровня

Контрольные вопросы

Контрольные вопросы

Контрольные вопросы

Контрольные вопросы

Контрольные вопросы

Контрольные вопросы

	В цепи с активным сопротивлением энергия источника преобразуется	Тепловую
Электрического поля
Магнитного поля
Магнитного, электрического полей и тепловую
	Напряжение на зажимах цепи с активным сопротивлением изменяется по закону u= 220 sin (314t + 45 0). Определить закон изменения тока в цепи, R=100 Ом.	i=2,2 sin(314t+00)
i=2,0 sin(314t+450)
i=2,2 sin(314t+450)
	Напряжение на зажимах цепи u=284sin(314t+00). Определить показание амперметра и вольтметра, если в цепь включена электроплитка Р = 400 Вт.	U=284 В, I = 2 A.
U =200 B, I = 2 A
U = 200 B, I = 1 A
	Укажите параметр переменного тока, от которого зависит индуктивное сопротивление катушки.	Период переменного тока
Действующего значения напряжения
Фаза напряжения φ
	Оказывает ли индуктивная катушка сопротивление постоянному току, если R k=0?	Оказывает
Не оказывает
	К катушке, индуктивность которой L=0,01 Гн и сопротивление R= 15 Ом, приложено синусоидальное напряжение частотой f= 50 Гц и действующим значением U=82 B. Определить действующее значение тока и его изменение во времени, если φ u =0.	i=15sin(314t+320)
i=24sin(314t+640)
i=35sin(314t+640)
	Как изменятся напряжения на участках цепи, если в катушку ввести ферромагнитный сердечник при условии, что U = const?	Напряжения не изменятся
Напряжение U L увеличится, напряжение U R уменьшится
Напряжение U L уменьшится, напряжение U R увеличится
	Как изменятся напряжения на участках цепи при выключении одной из ламп?	Напряжения не изменятся
Напряжение U R уменьшится, напряжение U L увеличится
Напряжение U R увеличится, напряжение U L уменьшится
	Как изменится сдвиг фаз φ между напряжением и током, если R и Х L цепи увеличатся в 2 раза?	Уменьшится в 2 раза
Останется неизменным
Увеличится в 2 раза
	В приведенной схеме U = 220 B; R=10 Ом; X L= 5 Ом; X С= 2 Ом. Как изменится активная и реактивная мощности при замыкании ключа?	Активная мощность увеличится, реактивная уменьшится
Активная мощность уменьшится, реактивная увеличится
Активная и реактивная мощность не изменятся

Цепи с параллельным соединением элементов

Параллельное соединение элементов R, L, C

Цепь, состоящая из элементов активного сопротивления r, индуктивности L и емкости С, соединенных параллельно, изображена на рис.37, а.

а) б)

Рис.37. Цепь с параллельным соединением R, L, C и ее диаграмма

Если такую цепь включить под синусоидальное напряжение u=U_msinωt, то сила тока в каждой из ветвей соответственно определится:

i_r=; i_L=;

i_c=. Для данной цепи называются соответственно активной, индуктивной и емкостной проводимостями ветвей и обозначаются g, b_L, b_c. C учетом этих обозначений уравнения для сил токов в ветвях примут вид:

i_r=gU_msinωt =I_{r m} sinωt, i_L=b_LU_m sin(ωt- π/2)=I_Lm sin(ωt- π/2), i_c=b_c U_m sin(ωt+ π/2)= I_cm sin(ωt+π/2).

Сила тока i_r называется активной, i_L — индуктивной, а i_c - емкостной. Активный ток, как видно из уравнения, совпадает по фазе с напряжением, индуктивный отстает от напряжения на угол π/2, а емкостный опережает напряжение на угол π/2.

В неразветвленной части цепи сила тока определяется по первому закону Кирхгофа:

i=i_r +i_L+i_c =,

или: i= I_rm sinωt+ I_Lm sin(ωt- π/2)+ I_cm sin(ωt+π/2.

Так как i_L и i_c сдвинуты относительно друг друга на угол π, то их сумма, называемая реактивной силой тока, определится равенством:

i_p= I_Lm sin(ωt- π/2+ I_cm sin(ωt-+π/2 =(I_Lm- I_cm) sin(ωt- π/2)= I _pm sin(ωt- π/2).

При этом возможны три характерных случая: когда I_Lm> I_cm, их разность положительна, когда I_Lm< I_cm, их разность отрицательна, а когда I_Lm=I_cm, их разность равна нулю.

Сила тока в неразветвленной части цепи определится суммой активной и реактивной сил токов: i=I_rmsinωt+ I _pm sin(ωt- π/2).

Производя графическое сложение этих сил токов для случая I_Lm> I_cm, найдем:

i=I_msin(ωt+ψ)= I_msin(ωt-φ),

т. к. φ_u=0 и, следовательно, φ_i= φ_u- φ= - φ.

Действующее значение силы тока в неразветвленной части цепи согласно первому закону Кирхгофа определится геометрической суммой:

Ī=Ī_R +Ī_L+Ī_c.

Эту сумму можно найти, применяя векторную диаграмму токов, называемую обычно треугольником токов. На рис.38, а изображены векторные диаграммы сил токов при I_L>I_C и I_L<I_C. При I_L=I_C вектор силы тока совпадает по фазе с вектором напряжения.

Действующее значение реактивной силы тока I_р определится алгебраической суммой:

I_p=I_L – I_C = b_LU – b_CU = (b_L – b_C)U= bU.

В этом уравнении b=b_L – b_C - называется реактивной проводимостью. Эта алгебраическая величина, которая при b_L>b_C – положительна, при b_L<b_C – отрицательна, а при b_L= b_C – равна нулю.

Из векторных диаграмм токов (рис.38, а) имеем:

I=,

где у = - полная проводимость цепи.

Уменьшив величины каждой стороны треугольника токов на величину напряжения U, получим треугольник проводимостей (рис.38, б), подобный треугольнику токов. Сдвиг по фазе между напряжением и током находим из треугольников токов и проводимостей: φ= arctg. В зависимости от того, какая проводимость преобладает в цепи – индуктивность или емкостная, разность фаз напряжения и силы тока будет положительной или отрицательной. При b_L>b_C разность фаз φ>0 и напряжение опережает ток, если b_L<b_C, то φ<0 и ток опережает напряжение. При b=0 разность фаз напряжения и тока равна нулю.

а) б) г)

Рис.38. Треугольники токов и проводимостей цепи с параллельным соединением r, L, C

Параллельное соединение приемников

Практически любой приемник электроэнергии может иметь два или все три параметра одновременно. На рис.39, а представлена цепь из двух параллельных ветвей, в одной из которых имеются активное сопротивление и индуктивность, а в другой – активное сопротивление и емкость. Если такую цепь включить под синусоидальное напряжение u=U_m sinωt, то силы токов в параллельных ветвях будут равны:

i ₁ = I_1msin(ωt- φ₁); i₂= I_2msin(ωt- φ₂).

Действующие значения этих сил токов определяются по закону Ома:

I ₁ =.

Активные и реактивные составляющие сил токов ветвей будут равны:

I_{r 1} = I₁cos φ ₁= I_r2=I₂cos φ₂ = U;

I_{p 1} =I ₁ sin φ ₁ =; I_p2=I₂sin φ₂ =.

а) б)

Рис.39. Разветвленная цепь и ее диаграмма

Составляющие и полная сила тока неразветвленной части цепи соответственно запишутся:

I_r=I_{r 1} +I_r2=g ₁ U+g₂U, I_p=I_{p 1} +I_p2=b ₁ U+b₂U, I=.

Векторная диаграмма сил токов (рис.39, б) рассматриваемой цепи построена для частного случая, b₁>b₂. Из диаграммы находим φ=arcos

	Какой цепи соответствует векторная диаграмма?
	Как изменятся показания ваттметра и амперметра при размыкании ключа K, если Х с = Х L?	Показания обоих приборов увеличатся
Показания обоих приборов уменьшатся
Показания амперметра уменьшится, показания ваттметра не изменится
Показания амперметра увеличится, показания ваттметра не изменится
	При частоте источника питания f1 = 50Гц R 1= R 2= 2 Ом. Как изменится активная проводимость G э= g 1+ g 2 цепи при увеличении частоты источника f1= 60 Гц?	Уменьшится
Увеличится
Не изменится
	При каком условии цепи будут эквивалентны, т.е. когда i1=i2 при u 1 = u 2?	R 1= R 2; Х L1= Х L2
R 2= (R 21+ Х 2L1)/ R 1; Х L2= (R 21+ Х 2L1)/ Х 1
	Для цепи синусоидального тока не может иметь место векторная диаграмма

Мощности цепей переменного тока

В цепях переменного тока периодические изменения напряжения и тока создают периодические изменения мощности цепей. Периодически изменяющаяся мощность – мало удобная величина для характеристики энергетического состояния цепей. В связи с этим в цепях переменного тока вводят несколько понятий мощности: мгновенная, активная, реактивная, полная.

Мгновенная мощность электрических цепей

Под мгновенной мощностью понимается произведение мгновенных значений напряжения и силы тока, т.е. р=ui. В цепи с активным сопротивлением при синусоидальных значениях u_R =U_msinωt и i=I_msinωt мгновенная мощность определяется уравнением:

P_R = u_ri =U_msinωt I_msinωt =2Uisin²ωt = 2UI.

Отсюда видно, что мгновенная мощность в цепи с сопротивлением R, имея независимую от времени постоянную составляющую UI и переменную составляющую UIcos2ωt, изменяется с двойной частотой (рис.40, а) около среднего значения, равного UI, оставаясь все время положительной. С физической точки зрения это означает, что при прохождении тока в цепи независимо от его направления энергия поступает от источника в цепь и в ней рассеивается, т.е. имеет место необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую или другого вида энергию. Мгновенная мощность определяет скорость этого процесса.

В цепях с индуктивностью при синусоидальных значениях напряжения и силы тока мгновенная мощность равна:

p_L=u_L i= U_m sin(ωt+π/2)I_m sinωt = 2UIcosωt sinωt= U I sin2ωt.

Рис. 40. Графики мгновенных мощностей в цепях переменного тока

Отсюда следует, что мгновенная мощность изменяется с двойной угловой частотой (рис.40, б), достигая в течении периода два раза положительного и два раза отрицательного максимума UI. Это означает, что в течение периода энергия два раза поступает от источника в цепь и два раза возвращается из цепи обратно к источнику. Другими словами, энергетический процесс в рассматриваемой цепи состоит лишь в обмене энергией между источником и цепью. Энергия же при этом не расходуется.

В цепи с емкостью при синусоидальных значениях напряжения и тока мгновенная мощность равна:

p_c=u_c i= U_msin(ωt-π/2)I_msinωt=-2UI cosωt sinωt= -U I sin2ωt.

Как видно, мгновенная мощность также изменяется с двойной угловой частотой (рис.40, в), достигая в течение периода два раза положительного и два раза отрицательного максимума UI. Это значит, что энергетический процесс в цепи с емкостью, как и в цепи с индуктивностью, состоит в обмене энергией между источником и цепью.

Мгновенная мощность в цепях, содержащих активные и реактивные параметры, например сопротивление и индуктивность или сопротивление и емкость, при синусоидальных значениях тока и напряжения определяется уравнением:

p=u i=U_msinωt I_msin(ωt- φ)= 2Uicosφ sin²ωt – UI sin φ sin2 ωt.

Из этого выражения видно, что мгновенная мощность в таких цепях имеет две составляющие: одну, изменяющуюся по закону квадрата синуса, и другую, изменяющуюся по синусоидальному закону с двойной частотой. Очевидно, что первая составляющая характеризует необратимое преобразование электрической энергии, а вторая – процесс периодического обмена энергией между источником и цепью. В целом же мгновенная мощность, как следует из графика на рис.41, изменяется периодически как по величине, так и по знаку. В данном частном случае положительная часть кривой имеет большую площадь, чем отрицательная. Это означает, что в цепь от источника поступает больше энергии, чем возвращается цепью источнику.

Таким образом, энергия, получаемая активным сопротивлением цепи, расходуется в нем, а энергия, получаемая реактивным сопротивлением цепи, не расходуется, а только колеблется с двойной частотой между источником и цепью.

Рис.41. Графики мощностей R, L и r, C

Активная и реактивная мощности цепей

Под активной мощностью понимается среднее значение мгновенной мощности за период:

P=.

Если напряжение u=U_msinωt и сила тока i= I_msin(ωt- φ), то мгновенная мощность будет равн p= ui= U_msinωtI_msin (ωt-φ)=

=2UI[.

Тогда активная мощность: P=.

Второй интеграл за период равен нулю. Поэтому активная мощность в цепи при синусоидальном процессе будет:

P= φdt = UI cosφ. Множитель cosφ, входящий в формулу активной мощности, называется коэффициентом мощности. Так как cosφ изменяется от 1 (при φ=0) до 0 (при φ=π/2), то активная мощность будет изменяться от P=UI до нуля. С энергетической точки зрения cosφ характеризует степень использования энергетической установки. Чем меньше cosφ, тем хуже используется энергетическая установка.

Активная мощность, учитывая, что U=Iz, zcosφ=r и, может быть представлена: P =I²z cosφ= I²r= U²уcosφ=gU². Основной единицей измерения активной мощности является ватт(Вт), а кратными - киловатт(кВт) и мегаватт (МВт).

Реактивной мощностью называется величина, определяющая наибольшую скорость изменения электрического и магнитного полей, т.е.: Q= U I sinφ.

Среднее значение этой мощности за период равно нулю. Реактивная мощность, учитывая, что U=Iz, zsinφ=x и = b, может быть представлена следующими выражениями: Q=I²zsinφ = I²x= U²у sinφ = bU². Реактивная мощность может быть положительной, когда нагрузка индуктивная и ток отстающий, и отрицательной, когда нагрузка емкостная и ток опережающий. Основной единицей измерения реактивной мощности является вольт-ампер реактивный (Вр), а кратными – кВАр и МВАр.

Полная мощность электрических цепей

Под полной мощностью понимается произведение действующих значений тока и напряжения. Эта мощность является расчетной величиной. Полная мощность, учитывая, что U=Iz, у =1/z, может быть представлена следующими соотношениями:

S= U I= z I² = уU². Полная мощность связана с активной и реактивной мощностями соотношением: S =. Основной единицей измерения полной мощности является вольт-ампер (ВА), а кратными кВА и мВА.

Коэффициент мощности cosφ и методы его повышения

Коэффициент мощности является очень важным энергетическим фактором, что видно из следующего примера. Если активная мощность передается при cosφ = 1, то ток в цепи равен I =. Если же активная мощность передается при cosφ = 0,5, то I =, т.е. ток по сравнению с первым случаем увеличивается в два раза.

Современные потребители переменного тока (электродвигатели, трансформаторы и т.п.) создают в электрических цепях сдвиг тока по фазе относительно напряжения в сторону отставания на угол φ < 90°, т.е. создаются условия, когда 0< cosφ <1

Это обстоятельство приводит к последствиям, имеющим большое энергосберегающее значение.

1. Приведенный пример показывает, что при данной активной мощности ток будет тем больше, чем меньше cosφ. Обмотки генераторов рассчитаны на ток определенной величины, поэтому загрузка их реактивной мощностью, т.е. работа при низких значениях cosφ, снижает отдачу активной мощности. А так как первичные двигатели генераторов воспринимают только активную мощность генераторов, то при снижении cosφ мощность их не может быть использована полностью. Другими словами, снижение cosφ приводит к уменьшению реальной полезной мощности электростанций, что крайне нежелательно.

2. Снижение cosφ ограничивает пропускную способность электрических сетей, так как она определяется максимально допустимой величиной тока. Для передачи необходимой активной мощности при низком cosφ требуются провода большего сечения, больший расход материалов, большие капитальные затраты.

3. IIовышение величины тока в генераторах и сетях ведет к существенному увеличению потерь энергии на нагрев проводов (Q=I²Rt) и к увеличению падения напряжения в линиях передачи (ΔU=IZ), т.е. к снижению напряжения на концах линии передачи. Поддержание напряжения на должном уровне требует дополнительных капиталовложений.

Изложенное говорит о необходимости принятия мер по повышению cosφ, что достигается следующим образом:

— правильным выбором мощности электродвигателей и трансформаторов; cosφ электродвигателей и трансформаторов при номинальной нагрузке бывает порядка 0,8 — 0,9, а при снижении нагрузки резко уменьшается, что приводит к снижению cosφ в электроэнергетических системах;

— искусственным повышением соsφ с помощью специальных установок, компенсирующих сдвиг фаз; это достигается включением в сеть какой-либо емкости — батарей конденсаторов или специальных синхронных двигателей, работающих вхолостую и создающих емкостный ток.

Компенсация сдвига фаз с помощью емкости основана на резонансных явлениях.

Ток I,потребляемый основными приемниками (на схеме рис.42 показано эквивалентное сопротивление многих приемников), отстает по фазе от напряжения на угол φ ₁. Ток конденсаторов I _c опережает напряжение на угол л/2. Суммарный ток I, забираемый от генератора и протекающий по линии, равен геометрической сумме I ₁ и I _c т.е. I меньше, чем I _1, угол φ близок к нулю, следовательно, соsφ близок к единице.

а) б)

Рис. 42. Схема (а) и векторная диаграмма (б) компенсации сдвига фаз

Необходимо помнить, что физический смысл такого повышения соsφ и уменьшения суммарного тока заключается во взаимной компенсации потоков реактивной энергии, вызываемых колебательными процессами в индуктивности и емкости.

Опыт эксплуатации установок для повышения соsφ показывает их несомненную технико - экономическую эффективность.

	Какое из приведенных выражений неправильно определяет cosφ приемника энергии?	g/Y
R/Z
P/S
Q/S
	Какая из приведенных схем увеличения cosφ является рациональной?	Схема а)
Схема б)
Обе схемы
	У приемника энергии U пр= 220 В; I= 100 A; cosφ = / 2; R 1=0, 1 Ом. Определить потери мощности в линии, обусловленные реактивным током приемника.	1000 Вт
750 Вт
250 Вт
	Рассчитать емкость конденсатора, обуславливающую полную компенсацию реактивной энергии для случая, рассмотренного в предыдущем вопросе.	1600 мкФ
1200 мкФ
	В чем заключается физический смысл повышения cosφ?	Взаимная компенсация потоков реактивной энергии
Изменением потребления энергии потребителем
	Будет ли ваттметр, включенный так, как показано на схеме, регистрировать потерю активной мощности в линии?	Будет
Не будет

Символический метод расчета электрических цепей

Методы расчета электрических цепей переменного тока посредством алгебраических действий над синусоидальными функциями времени или геометрических операций над изображающими их векторами, громоздки. Поэтому в электротехнике широко применяется так называемый символический, или комплексный метод расчета цепей переменного тока, основанный на изображении синусоидальных функций времени комплексными числами. Такое изображение позволяет уравнения для любой цепи, составленные на основании законов Кирхгофа, решать алгебраические, аналогично уравнениям для цепей постоянного тока.

Применение символического метода значительно упрощает расчеты цепей переменного тока, особенно сложных цепей. Соотношения, выражающие законы Ома и Кирхгофа в символической форме, имеют такой же вид, как соотношения, выражающие эти законы для цепей постоянного тока. Отличие между ними заключается лишь в том, что все величины, входящие в формулы законов для цепей переменного тока, представляют собой комплексы. Поэтому символический метод дает возможность применять для расчета цепей переменного тока не только законы Ома и Кирхгофа, но также и все методы расчета сложных цепей, применяемые в цепях постоянного тока, в частности метод контурных токов, метод узловых напряжений и другие методы.

Известно, что каждому комплексному числу на комплексной плоскости (рис.43) соответствует точка М, имеющая две координаты – отрезок а на вещественной оси и отрезок b на мнимой оси, или радиус – вектор А, проекции которого на вещественную и мнимую оси являются координатами комплексного числа.

Рис.43. Изображение комплексного числа вектором

Соответственно этим двум изображениям комплексное число может быть записано в двух основных формах – алгебраической и тригонометрической: A =a + jb = A(cosα+jsinα), где j=А – модуль комплексного числа; α=artg - аргумент комплексного числа.

Комплексное число может быть записано также в третьей так называемой Эйлеровой, или показательной форме, а именно:

A =Ae^jα ,

где А - модуль комплексного числа;

e^jα – поворотный множитель;

е – основание натуральных логарифмов.

Комплексные числа допускают выполнение над ними всех основных математических действий. При выполнении отдельных действий обычно выбирается наиболее удобная форма записи комплексного числа. Так, например, при сложении и вычитании удобной является алгебраическая форма, а при умножении и делении – показательная.

Сложение двух или нескольких комплексных чисел соответствует сложению векторов, т.е. складываются отдельно их действительные и мнимые составляющие. Так, например, если необходимо сложить A ₁= а₁+jb₁ и A₂ = а₂ +jb₂, то A = A ₁ + A ₂ = (а₁ + а₂) + j(b₁ + b₂).

Вычитание комплексных чисел - это действие, обратное их сложению:

A = A ₁ - A ₂ = (а₁ - а₂) + j(b₁ - b₂).

Умножение и деление комплексных чисел выполняется следующим образом:

А = A ₁ ۰ A ₂ = A₁ e^jα_۰А ₂е^jβ = А₁А₂е^j(α+β); А =,

т.е. при умножении аргументы комплексов складываются, а при делении – вычитаются.

Символическое изображение электрических величин

и параметров цепей синусоидального тока

Всякая синусоидальная величина, как известно, может быть представлена вращающимся вектором, а последний может быть изображен комплексным числом. Следовательно, любая синусоидальная величина может быть представлена в виде соответствующего комплексного числа или комплекса.

Если сила тока и напряжение синусоидальны, т.е. u = U_msin(ωt+φ_u) и i=I_msin(ωt+φ_i), то соответствующие им комплексы амплитуд и действующих значений запишутся так:

=; =U; =I_me; =I.

Отношение комплекса напряжения к комплексу силы тока называется комплексом полного сопротивления, т.е.

, где z - полное сопротивление, или модуль комплекса полного сопротивления; φ=φ_u – φ_i - угол сдвига между вектором напряжения и вектором силы тока.

Следовательно, комплекс полного сопротивления может быть представлен выражением = z e^jφ = z cosφ +jz sinφ = R + jx, где r и x - соответственно активное и реактивное сопротивление.

Резонансные явления в цепях переменного тока

Основные понятия и определения

Под резонансом понимается явление в цепях переменного тока, содержащих элементы индуктивности и емкости, при котором реактивное сопротивление или реактивная проводимость равны нулю. При последовательном соединении элементов индуктивности и емкости явление называется резонансом напряжений, а при параллельном соединении – резонансом токов.

Явление резонанса при последовательном соединении L и С называется резонансом напряжений потому, что при нем напряжения на зажимах элементов индуктивности и емкости могут превосходить, и иногда значительно, напряжение на зажимах всей цепи. Явление резонанса при параллельном соединении L и С называется резонансом токов потому, что при нем силы токов в ветвях с элементами индуктивности и емкости могут превосходить силу тока в неразветвленной части цепи. Эти явления в цепях обусловлены взаимным преобразованием энергий электрического и магнитного полей.

Резонансные цепи весьма широко применяются в электротехнике, они являются неотъемлемой частью ряда радиотехнических устройств и часто используются в автоматике и телемеханики. В то же время явления резонанса в ряде случаев нежелательны. Так, например, явления резонанса, возникающие в электрических цепях и системах, в которых они не предусмотрены, могут вызывать перенапряжения в отдельных элементах, пробой изоляции и другие ненормальные явления.

Резонанс напряжений

Рассмотрим явление резонанса в неразветвленной цепи с сопротивлением, индуктивностью и емкостью (рис.44). Условие резонанса в такой цепи можно записать в следующем виде: x= x_L – x_C =ωL -.

а) б)

Рис.44. Резонансная цепь и ее векторная диаграмма

Для режима резонанса напряжений характерно:

- комплекс полного входного сопротивления электрической цепи

z= R+ j(x_L- x_C) = R достигает минимального значения, равного активному сопротивлению;- комплекс силы тока в цепи =

достигает наибольшего значения и совпадает по фазе с напряжением;

- напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости

U_L =, а так как их фазы противоположны, то они в любой момент времени будут компенсировать друг друга;- реактивные напряжения на индуктивности и емкости U_L = I₀ x_L= U _C= I ₀ x _C=

при резонансе могут быть больше напряжения сети во столько же раз, во сколько каждое из реактивных сопротивлений больше активного сопротивления;

- напряжение на активном сопротивлении U_r = I₀R =

равно напряжению на зажимах цепи. Приведенные соотношения и векторная ж.диаграмма (рис.44) показывают, что цепь при резонансе подобна цепи с элементами активного сопротивления.Угловая частота ω₀ и f₀ при которых наблюдается явление резонанса, называется собственными резонансными частотами. Эти частоты, определяемые из условия резонанса ω²LC=1, соответственно равны: f₀ =. Резонанс в цепи может наступить только при равенстве собственной резонансной частоты и частоты ее источника питания.

Настройку цепи в резонанс можно произвести следующими способами:

а) изменением частоты источника питания, в этом случае резонанс наступает при ω=ω ₀;

б) изменением индуктивности цепи при неизменных ω и С, причем резонанс наступает, когда L= 1/(ω ² С);

в)изменением емкости при неизменных ω и L, причем резонанс наступает тогда, когда С=1/(ω ² L).

	Как влияет реактивное сопротивление на ток в режиме резонанса?	сильно
совсем не влияет
слабо
	Какие приборы дают возможность зафиксировать режим резонанса напряжения?	Вольтметр и амперметр
амперметр
Вольтметр
Ваттметр
	Где не рекомендуется использовать резонанс напряжения?	Радиотехнике
Электрические измерения
Электроэнергетические системы
	Каково соотношение между напряжениями на индуктивности катушки и конденсаторе в режиме резонанса?	U Lk > U C
U C> U Lk
U Lk= U C
	Условие резонанса в неразветвленной цепи:	X =Х L- X C;
X =;
X =;
	Оценить справедливость максимальных значений энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки:

Резонанс токов

Рассмотрим случай параллельного соединения элементов с R,L и C. В такой цепи резонанс токов наступает при условии:

, откуда.

а) б)

Рис. 45. Разветвленная резонансная цепь и ее диаграмма

Для режима резонанса токов характерно:

- комплекс полной входной проводимости электрической цепи

Y =

достигает минимального значения, равного активной проводимости, т.е. входное сопротивление достигает максимума;

- комплекс силы тока в неразветвленной части электрической цепи

= = g

достигает минимального значения и совпадает по фазе с напряжением на входе цепи;

- сила тока в ветви с индуктивностью равна силе тока в ветви с емкостью

,

а так как их фазы противоположны, то они в любой момент времени будут компенсировать друг друга;

- реактивные силы тока ветвей,

при резонансе могут быть больше силы тока в неразветвленной части цепи во столько раз, во сколько раз каждая из реактивных проводимостей больше активной проводимости;

- активная сила тока,

т.е. она равна силе тока в неразветвленной части цепи.

Приведенные соотношения и векторная диаграмма показывают, что при резонансе цепь ведет себя подобно цепи с элементами активного сопротивления.

Настройку цепи в резонанс токов, как и в резонансе напряжений, можно производить изменением индуктивности, изменением емкости или изменением частоты. Значения индуктивности, емкости и частоты, при которых наступает резонанс токов, соответственно равны:

C =.

Пример. В разветвленной цепи (рис.46), состоящей из двух параллельных ветвей, в одной из которых имеются R₁ и L, а в другой – R₂ и С, явление резонанса наступает при том же условии, т.е. когда Но поскольку в рассматриваемой цепи реактивные проводимости соответственно равны:,

то условие резонанса может быть записано так:.

Решая это равенство относительно резонансной частоты, получим:

.

Рис. 46. Смешанная резонансная цепь и ее диаграмма

Из этого выражения можно сделать следующие выводы.

1. Для получения резонанса необходимо, чтобы активные сопротивления ветвей R₁ и R₂ были оба больше или оба меньше волнового сопротивления ρ =. Если же это условие не соблюдается, то получается мнимая частота, т.е. такой частоты не существует, при которой резонанс имел бы место.

2. При равенстве активных сопротивлений ветви и волнового сопротивления, т.е. R₁ = R₂ = ρ, резонанс имеет место при любой частоте, т.е. при всех частотах ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением на зажимах цепи и вся цепь ведет себя, как активное сопротивление.

3. При R₁ = R₂ выражение для резонансной частоты преобразуются к виду, т.е. совпадает с выражением резонансной частоты неразветвленной цепи.

4. При неизменной частоте источника питания резонанс может быть получен путем изменения индуктивности, емкости и активных сопротивлений. Однако изменением какого-либо одного параметра резонанс может быть достигнут не при любых значениях остальных параметров. Так, например, при изменении индуктивности или емкости при определенных соотношениях между остальными параметрами возможен не один, а два резонансных режима. Действительно, если изменяется индуктивность или емкость, то из условия резонанса для индуктивности или емкости получается два значения, и если оба значения вещественные, то каждое из них обеспечивает явление резонанса.

Комплексы сил токов в ветвях резонансного контура определяется по закону Ома:

;.

Комплекс силы тока в неразветвленной части контура при резонансе равен:

	Катушка c параметрами R k, L k и конденсатор С k образуют последовательный контур, настроенный в резонанс с частотой источника. Будет ли иметь место резонанс токов, если, не меняя параметров цепи и частоту источника, катушку и конденсатор включить параллельно?	Будет
Не будет
Это зависит от соотношения между R k и Х Lk
	Выберите векторную диаграмму, соответствующую данной цепи при резонансе токов
	Как изменяется сопротивление контура Z k при уменьшении сопротивления катушки R k в режиме резонанса?	Уменьшится
Практически не изменится
Увеличивается
	Потребляется ли энергия контуром при резонансе токов, если R k=0?	Да
Нет
Зависит от соотношения между L и С
	Указать условие резонанса тока.	bL = XL/(R2+X2L)>bC=-1/XC
bL = XL/(R2+X2L)=bC=-1/XC
bL = XL/(R2+X2L)=bC= 1/XC
	В цепи имеет место резонанс токов. Амперметры показывают I 2= I 3= 1 А. Определить показания амперметра А1.	I 1 = 2 А
I 1 = A
I 1= 1/2 A

Трехфазные электрические цепи

Трехфазной системой электрических цепей называется совокупность трех электрически связанных однофазных цепей, в которых действуют синусоидальные э.д.с. одинаковой частоты, взаимно сдвинутые по фазе на одну треть периода. Причем каждая отдельная фаза трехфазной системы сокращенно называется фазой.

Совокупность э.д.с. или напряжений, действующих в трехфазной цепи, называется трехфазной системой э.д.с. или напряжений. Совокупность же токов, протекающих в трехфазной цепи, называется трехфазным током или трехфазной системой токов.

Трехфазный ток можно получить от трехфазного генератора. Устройство такого генератора схематически показано на рис.57. Он состоит из двух основных частей: неподвижной части, называемой статором, и вращающейся части, называемой ротором. На статоре уложены три одинаковые фазные обмотки А, В, С, смещенные относительно друг друга на 120⁰. Начала фазных обмоток обозначены А, В, С, а концы – Х, Y, Z. Ротор же представляет собой вращающийся электромагнит, полюса которого имеют специальную форму, благодаря чему магнитная индукция в воздушном зазоре распределяется по синусоидальному закону.

Рис.57. Схема синхронного генератора

Если ротор генератора вращать с постоянной скоростью, то в обмотках статора будут индуцироваться э.д.с. одной и той же частоты, имеющие одинаковые амплитуды, но в соответствии с пространственным расположением обмоток сдвинутые друг относительно друга на угол 120⁰. Если при этом фазные обмотки генератора замкнуть на элементы с одинаковыми по величине и характеру сопротивлениями, то в цепи будут протекать три тока, составляющие симметричную систему токов.

Э.д.с. в фазах генератора называются фазными и обозначаются е_А , е_В , е_С . Приняв за начало отсчета времени момент, при котором э.д.с. фазы А равна нулю, уравнения фазных э.д.с. генератора можно записать в следующем виде:

е_А= Е_msinωt; е_В=Е_msin(ωt -120⁰); е_С =Е_msin(ωt – 240⁰).

Э.д.с., индуцируемые в каждой из фазных обмоток, создадут на концах своих обмоток фазные напряжения. Эти напряжения можно записать в виде следующих уравнений:

u_А= U_m sinωt; u_B=U_msin(ωt -120⁰); u_C = U_msin(ωt – 240⁰).

Соответственно уравнения сил токов в фазах можно записать следующим образом:

i_A =I_m sin(ωt- φ); i_A =I_m sin(ωt-120⁰- φ); i_A =I_m sin(ωt-240⁰- φ).

В символической форме действующие значения указанных величин соответственно запишутся так:

= Ue ^j0; = Ue ^j(-120); = Ue ^j(-240);

= Ee ^j0; = Ee ^j(-120); = Ee ^j(-240);

= Ie ^j(-φ); = Ie ^j(-120—φ); = Ie ^j(-240-φ).

Рис.58. Временная и векторная диаграмма э.д.с. трехфазного генератора

На рис.58 представлены временная и векторная диаграмма трехфазной симметричной системы э.д.с. Такими же диаграммами изображаются симметричные системы токов и напряжений. Из диаграммы видно, что э.д.с. в фазах достигают своих положительных максимальных значений в таком порядке: E _Am→ E _Bm→ E _Cm. Такой порядок чередования называют прямой последовательностью фаз. При обратном вращении ротора генератора получается обратная последовательность фаз E _Am→ E _Сm→ E _Вm. Прямая последовательность фаз считается нормальной.

Одним из важных свойств трехфазных симметричных систем э.д.с., напряжений и токов является то, что сумма мгновенных значений э.д.с., напряжений или сил токов в любой момент времени равна нулю:

e_A+ e_B + e_C = 0; u_A+u_B + u_C = 0; i_A + i_B + i_C = 0.

6.2. Соединение фаз трехфазных цепей

Основными видами соединения фаз трехфазных цепей являются соединения по схеме звезды и по схеме треугольника. При этом фазы генераторов и потребителей можно соединить звездой или треугольником независимо друг от друга, например: генератор может быть соединен звездой, в приемник – треугольником или звездой. В этих схемах за положительное направление э.д.с. и тока в каждой фазе генератора условно принимают направление от конца фазы к ее началу, а в приемнике, наоборот, от начала к концу.

Соединение по схеме звезды

Под соединением звездой понимается такое соединение фаз генератора или потребителя, при котором концы всех фаз соединяются в общую узловую точку, а их начала - с проводами, соединяющими генератор и потребитель. Узловая точка называется нейтральной или нулевой, а провод, соединяющий нулевые точки генератора и потребителя – нулевыми или уравнительными. Провода, соединяющие начала фаз генератора с началом фаз потребителя, называются линейными. Схема звезды с нулевым проводом называется четырехпроводной, а без нулевого провода – трехпроводной. На рис. 59 изображена четырехпроводная схема трехфазной системы.

Напряжения на зажимах фаз генератора или потребителя называются фазными, а напряжения между линейными проводами – линейными. Фазные напряжения обозначаются U _A, U _B, U _C, а линейные напряжения – U _AB, U _BC, U _CA. Токи разделяются также на фазные и линейные. Фазными называются токи, протекающие по фазам, а линейными – по линейным проводам. Фазные силы токов обозначаются I _AB, I _BC, I _CA, а линейные – I _A, I _B, I _C. Находят также применение общие обозначения U _Ф, I _Ф, U _Л, I _Л.

Рис.59. Трехфазная система по схеме звезды

Установим соотношения между фазными и линейными величинами при соединении звездой. Из схемы (рис.59) видно, что при выбранных положительных направлениях токов и напряжений линейные токи равны соответствующим фазным токам, а линейные напряжения согласно второму закону Кирхгофа (u _AB+ u _B– u _C=0) равны разности соответствующих фазных напряжений. Применяя символический метод, получим:

=–; =–; = –.

На основании приведенных соотношений на рис.60 построена векторная диаграмма напряжений в соответствии с принятым положительным направлением токов.

Установим соотношение между линейными и фазными напряжениями при соединении звездой. Из полученных на диаграмме треугольников, связывающих фазное и линейное напряжения, имеем, откуда U _л= 2 U _ф или U _л =.

Рис.60. Векторная диаграмма при соединении звездой

Системы фазных и линейных напряжений источников обычно симметричны. Приемники же могут нагружать все фазы равномерно или неравномерно. При равномерной нагрузке фаз тока в нулевом проводе нет и необходимость в таком проводе отпадает. При неравномерной же нагрузке ток в нулевом проводе есть и комплекс его силы равен сумме

= + +.

В этом случае нулевой провод необходим, иначе изменения нагрузки в одной фазе будут приводит к изменению силы тока и напряжения в других фазах, что на практике является нежелательным. Действительно, предположим, что в фазы (рис.61, а) включены лампы одинаковой мощности и что сопротивления фазы А и фазы С одинаковы, а сопротивления фазы В в два раза меньше. Если при этом произошел обрыв нулевого провода, то появится нарушение первого закона Кирхгофа + + = 0 для трехпроводной системы, образовавшейся после обрыва нулевого провода. Это нарушение восстанавливается путем изменения,,, а это обеспечивается соответствующим изменением,,. В результате происходит изменение угла сдвига между,, и, как следствие, смещение нулевой точки по линии вектора фазного напряжения (рис.61, б).

В случае короткого замыкания фазы В крайним положением нулевой точки будет вершина угла треугольника напряжений. Если же произойдет обрыв фазы В, то нулевая точка сместится на сторону, противоположную вершине этого угла. Фазы же А и С окажутся включенными последовательно под линейное напряжение U_CA, которое распределится между ними поровну. Это вызовет плохой накал ламп той и другой фаз.

а) б)

Рис.61. Векторные диаграммы несимметричной трехпроводной системы

Относительным преимуществом соединения генераторных обмоток звездой является возможность иметь у потребителя некоторую систему напряжений. Так, при соединении фазных обмоток генераторов звездой с заземленной нейтралью при фазном напряжении генератора 220 В у потребителя получим систему напряжений 220/380 В.

Соединение по схеме треугольника

Соединением по схеме треугольник называется такое соединение фаз генератора или потребителя, при котором конец первой фазы соединяется с началом второй, конец второй – с началом третьей и конец третьей – с началом первой, а узловые точки соединяются с линейными проводами. На рис.62 представлена схема такого соединения. Установим соотношения между фазными и линейными величинами при соединении треугольником. Из схемы видно, что при этом соединении линейные напряжения равны соответствующим фазным напряжениям U_л=U_ф, а линейные силы токов согласно первому закону Кирхгофа равны разностям соответствующих фазных сил токов. Оперируя комплексами, получим: = –, = –, = –

Рис.62. Трехфазная система по схеме треугольник

Фазные токи могут быть определены по формулам:

= /; = /; = /.

На рис.63 изображена векторная диаграмма при симметричной нагрузке (φ >0) для приемника, фазы соединены треугольником. Фазные токи отстают от фазных напряжений на угол φ, а линейные токи определены на диаграмме в соответствии с формулой (1). Из векторной диаграммы следует, что линейные токи присоединении треугольником в раз больше фазных и отстают от соответствующих фазных по фазе на 30⁰, т.е. I_л= I_ф. Из схемы соединения (рис.63) видно, что линейные и фазные напряжения при соединении треугольником равны: U_л = U_ф.

Рис.63. Векторные диаграммы токов и напряжений при соединении треугольником

Особенностью соединения фаз приемника треугольником является то, что изменение режима одной из фаз приемника не отражается на режиме других фаз, т.к. они подключены к неизменным линейным напряжениям источника питании. Изменяться будут лишь линейные токи в проводах, связанных с этой фазой. Поэтому схему соединения треугольником используют для включения несимметричных однофазных приемников в трехпроводную сеть.

Особые режимы работы трехфазной цепи

Рассмотрим работу трехфазных цепей при несимметричной нагрузке. Если нагрузка несимметричная, то такие потребители можно соединять треугольником или четырехпроводной звездой, т.к. трехпроводная звезда не обеспечивает нормального режима работы.

При несимметричной нагрузке токи в фазах будут различными:. Если потребитель соединить звездой без нейтрального провода (рис.64,а), то система фазных напряжений будет несимметричной.

Как видно из векторной диаграммы (рис.64, б), между нейтральными точками симметричного генератора N и несимметричного приемника n появится так называемое напряжение смещения нейтрали UnN. Таким образом, напряжения на фазах будут различными, что не обеспечивает нормального режима работы этих потребителей.

а) б)

Рис.64. Несимметричная нагрузка при соединении звездой с нейтральным проводом (φ =0): а) схема; б) векторная диаграмма

Если к такой цепи подключить нейтральный провод (рис.64, а), который соединит точки N и n, то по нему пойдет уравнительный ток, который выравнит фазные напряжения и обеспечит нормальный режим работы каждого потребителя. Ток нейтрального провода = + + изображен на векторной диаграмме (рис.64, б).

Если несимметричный потребитель соединен треугольником (рис.65,а), то режим работы каждой фазы будет нормальным, так как каждая фаза работает от генератора независимо от двух других.

а) б)

Рис.65. Несимметричная нагрузка при соединении треугольником (φ =0): а) схема; б) векторная диаграмма

Как видно из векторной диаграммы (рис.65, б), линейные токи также будут неравными.

При изучении трехфазных цепей важно уметь анализировать аварийные режимы, например, обрыв линии, обрыв фазы или короткое замыкание фазы.

Если обрыв фазы произойдет в четырехпроводной звезде, то ток в этой фазе будет равен нулю, а две другие фазы будут работать нормально, т.к. напряжения на этих фазах будут оставаться такими же, какими были до обрыва. Этот режим является частным случаем несимметричной нагрузки при соединении четырехпроводной звездой.

При обрыве линии А в трехпроводной звезде (рис.66) две другие фазы окажутся соединенными последовательно на линейное напряжение U. Тогда напряжения на этих фаз: = =, т.е. понизятся. Токи при этом будут I _A=0; I _B= I _C=.

а) б)

Рис.66. Обрыв линии при соединении приемника трехпроводной звездой (φ =0): а) схема; б) векторная диаграмма

При обрыве фазы у потребителя, соединенного треугольником (рис.67), две другие фазы продолжают работать нормально.

а) б)

Рис.67. Обрыв приемника при соединении треугольником (φ =0): а) схема; б) векторная диаграмма

В фазе, где произошел обрыв, ток будет равен нулю (=0). Напряжения на двух оставшихся фазах останутся прежними: U = U = U. При Z = Z и токи будут равны: I = I. Линейные токи определятся из следующих выражений:

I_A= I_ав – I_са= - I_ca; I_B =I_вс – I_ав = I_вс; I_C = I_ca - I_bc.

Эти соотношения выполнены на векторной диаграмме (рис.67, б).

При обрыве линейного провода А (рис.68) все три приемника продолжают получать питание, включаясь на одно, оставшееся в наличии напряжения U. При этом фаза Z продолжает работать нормально:, а две другие фазы включаются последовательно на напряжение U = U. Ток в этих фазах при Z = Z будет I_ca = I _ав=.

Диаграмма (рис.68, б) изображена для случая симметричной нагрузки.

а) б)

Рис.68. Обрыв линии при соединении приемника треугольником (φ =0): а) схема; б) векторная диаграмма

При эксплуатации трехфазных цепей могут возникнуть короткие замыкания в фазах источников. Режим длительной работы при замкнутом накоротко приемнике одной фазы возможен только в схеме трехпроводной звезды. Например, при коротком замыкании фазы А потенциал точки n оказывается равным потенциалу точки А (рис.69), значит две другие фазы окажутся под линейными напряжениями, т.е. напряжения на этих фазах возрастут в.

Напряжения на фазах будут: U_а=0; U_в=-U_АВ; U_C=U_CA.

Соответственно линейные токи I _Ви I _C возрастут в, а ток в проводе А будет I _л = - I _A- I _C, что и выполнено на векторной диаграмме (рис.69). Из диаграммы видно, что ток I _A увеличится в.

а) б)

Рис.69. Режим короткого замыкания фазы А приемника, соединенного звездой (φ =0): а) схема; б) векторная диаграмма

Короткое замыкание фазы при соединении потребителей звездой с нейтральным проводом или треугольником приведет к короткому замыканию фазы питающего устройства, т.е. генератора, и к перегоранию ее предохранителя. Этот режим является аварийным.

Знание процессов, происходящих при особых и аварийных режимах, позволяет принять верное решение, когда произойдет такой режим, или не допустить его.

Мощность трехфазных цепей

Для трехфазных цепей характерны те же понятия и определения мощностей, что и для однофазного переменного тока.

Мгновенная мощность трехфазной цепи есть сумма мгновенных мощностей трех фаз:

р = р_а + р_в + р_с = u_а i_а + u_в i_в + u_c i_c.

Активная мощность трехфазной цепи независимо от способа соединения также равна сумме активных мощностей отдельных фаз системы:

Р = U_AI_A cosφ_A + U_BI_Bcosφ_B + U_CI_C cosφ_C .

Если трехфазная система симметрична, то все фазные напряжения, фазные токи и углы сдвига равны между собой и, следовательно, активная мощность трехфазной системы определится формулой Р= 3U_фI_фcosφ.

Переходя к линейным величинам для симметричной системы при соединении звездой и треугольником, соответственно получим:

Р= 3U_фI_фcosφ= 3 cosφ = U_лI_лcosφ – соединение звездой;

Р= 3U_фI_фcosφ = 3 cosφ =U_лI_лcosφ – соединение треугольником.

Отметим, что приведенные выражения мощностей не означает, что при пересоединении потребителя со звезды на треугольник или наоборот мощности не изменяются. Например, при пересоединении симметричного потребителя со звезды на треугольник при заданном линейном напряжении фазные токи увеличиваются в, а линейный ток – в 3 раза, и поэтому мощность увеличивается в 3 раза.

Реактивная мощность трехфазной системы представляет алгебраическую сумму реактивных мощностей каждой фазы Q = U_АI_Аsinφ_А + U_ВI_Вsinφ_В + U_СI_Сsinφ_С .

При равномерной нагрузке фаз реактивные мощности отдельных фаз равны и, следовательно, Q = 3U_фI_фsinφ.

Полная мощность трехфазной симметричной системы определяется формулой

S = 3 U _ф I _ф = U _л I _л.

	Может ли геометрическая сумма линейных токов быть отличной от нуля при отсутствии нулевого провода?	Может
Не может
	Может ли ток в нулевом проводе четырехпроводной цепи быть равен нулю?	Может
Всегда равен нулю
Не может
	За счет чего могут изменяться линейные токи при постоянной э.д.с. генератора и неизменных сопротивлениях нагрузки?	Изменения линейных напряжений
Изменения фазных напряжений
Изменения фазных и линейных напряжений
	Чему равна разность потенциалов точек О и при наличии нулевого провода с активным сопротивлением R 0?
I 0 R 0
U л
	Может ли нулевой провод, обладающий большим активным сопротивлением, обеспечить симметрию фазных напряжений при несимметричной нагрузке?	Может
Не может
	Какой из токов в схеме линейный, какой – фазный?	Оба тока линейные
Оба тока фазные
Ток I 1 – линейный, ток I 2- фазный
Ток I 2 – линейный, ток I 1- фазный
	Симметричная нагрузка соединена звездой. Линейное напряжение 380 В. Определить фазное напряжение.	380 В
250 В
127 В
220 В
	Будут ли изменяться линейные токи при обрыве нейтрального провода