Брат-2 борется с двумя спящими восьмёрками. Аналогично:
Если существует предел отношения бесконечно больших в точке функций:, то в целях устранения неопределённости можно взять две производные – ОТДЕЛЬНО от числителя и ОТДЕЛЬНО от знаменателя. При этом:, то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.
Примечание: предел должен существовать
Опять же, в различных практических примерах значениеможет быть разным, в том числе, бесконечным. Важно, чтобы была неопределённость.
Проверим Пример №3 первого урока:. Используем второе правило Лопиталя:
Однако для Примера №2 той же статьи проверка данным способом будет весьма муторна. Тут придётся использовать правило Лопиталя три раза подряд (экспериментаторы могут попробовать). На самом деле ответ лежит на поверхности и почти мгновенно определяется устно (см. статью Методы решения пределов).
Коль скоро речь зашла о великанах, разберём два каноничных предела:
Пример 1
Вычислить предел
Получить ответ «обычными» методами непросто, поэтому для раскрытия неопределённости «бесконечность на бесконечность» используем правило Лопиталя:
|
|
Таким образом, линейная функцияболее высокого порядка роста, чем логарифм с основанием бОльшим единицы (и т.д.). Разумеется, «иксы» в старших степенях тоже будут «перетягивать» такие логарифмы. Действительно, функция растёт достаточно медленно и её график является более пологим относительно того же «икса».
Пример 2
Вычислить предел
Ещё один примелькавшийся кадр. В целях устранения неопределённости, используем правило Лопиталя, причём, два раза подряд:
Показательная функция, с основанием, бОльшим единицы (и т.д.) более высокого порядка роста, чем степенная функция с положительной степенью.
Похожие пределы встречаются в ходе полного исследования функции, а именно, при нахождении асимптот графиков. Также замечаются они и в некоторых задачах по теории вероятностей. Советую взять на заметку два рассмотренных примера, это один из немногих случаев, когда лучше дифференцирования числителя и знаменателя ничего нет.
Далее по тексту я не буду разграничивать первое и второе правило Лопиталя, это было сделано только в целях структурирования статьи. Вообще, с моей точки зрения, несколько вредно излишне нумеровать математические аксиомы, теоремы, правила, свойства, поскольку фразы вроде «согласно следствию 3 по теореме 19…» информативны только в рамках того или иного учебника. В другом источнике информации то же самое будет «следствием 2 и теоремой 3». Такие высказывания формальны и удобны разве что самим авторам. В идеале лучше ссылаться на суть математического факта. Исключение – исторически устоявшиеся термины, например, первый замечательный предел или второй замечательный предел.
|
|
Продолжаем разрабатывать тему, которую нам подкинул член Парижской академии наук маркиз Гийом Франсуа де Лопиталь. Статья приобретает ярко выраженную практическую окраску и в достаточно распространённом задании требуется: