Некоторые сведения о многочленах и дробно рациональных функциях

Литература.

Основные вопросы

Лекция №13.

Тема: Неопределенный интеграл. Интегрирование некоторых классов функций».

Цель лекции: Изучить основные методы интегрирования дробно-рациональных функций, основанные на разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Изучить методы интегрирования выражений, содержащих тригонометрические функции и интегрирование простейших иррациональностей.

1. Некоторые сведения о многочленах и дробно рациональных функциях.

2. Интегрирование дробно рациональных функций.

3. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

4. Интегрирование простейших иррациональностей.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М. «Интеграл Пресс», 2005. Т. 2.

2. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник. Алматы. 2003.

3. Невердовский В.Г. Сборник задач по высшей математике. Часть 2. Основы математического анализа. Алматы. Академия ГА. 2007.

4. Невердовский В.Г. «Высшая математика. Неопределенный и определенный интеграл» Задания для самостоятельной работы и методические указания по их выполнению.

Краткое содержание.

Целой рациональной функцией или многочленом степени n называется выражение вида

где

Дробно-рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение двух многочленов

Если то рациональная дробь называется неправильной, при n<m, дробь называется правильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби

Интегрирование дробно-рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби. Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных дробей. Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа простейших дробей.

1., целое). 3.

Интегрирование простейших дробей.

1..

2..

3.

4.

где

В курсе высшей алгебры доказывается, что всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей четырех типов, в зависимости от разложения знаменателя на произведение линейных и квадратных сомножителей с учетом их кратности. Каждому простому корню такого разложения будет соответствовать простейшая дробь первого типа. Кратному действительному корню х = а кратности k будет соответствовать цепочка простых дробей:

Если многочлен имеет комплексные корни, то они входят сопряженной парой. Можно показать, что паре комплексных сопряженных корней будет соответствовать квадратный трехчлен. В разложении правильной дроби на сумму простейших дробей квадратному трехчлену будет соответствовать простейшая дробь третьего типа.