Пример №8
Пример №7
Пример №6
Пример №5
Пример №4
Пример №3
Пример №2
(2/5)x=(5/2)4
Представим (2/5)x как (5/2)-x:
(5/2)-x=(5/2)4
Основания одинаковые, следовательно, приравниваем показатели:
-x=4
x=-4
Ответ: x=-4
√3х=9
√3х распишем как 3x/2, а 9 - как 32:
3х/2=32
Приравниваем показатели:
х/2=2
х=4
Ответ: x=4
3х2-х-2=81
Заметим, что 81=34
3х2-х-2=34
Приравниваем показатели:
х2-х-2=4
х2-х-6=0
Получили квадратное уравнение:
D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня
х1=(1+5)/2=3
х2=(1-5)/2=-2
Ответ: х=3 и х=-2
4х+1+4х=320
В таких случаях выносится основание с наименьшим показателем. В данном уравнении наименьшим показателем является х. Вынесем 4х за скобки:
4х(4+1)=320
4х*5=320
Представим 320 в виде 5*43, тогда:
4х*5=5*43
Поделим левую и правую часть уравнения на 5:
4х=43
Приравняем показатели:
х=3
Ответ: х=3
7х+2+4*7х-1=347
Степенью с наименьшим показателем в этом уравнении является х-1, следовательно, за скобки выносим 7x-1. Получаем:
7х-1*(73+4)=347
7х-1*347=347
|
|
Поделим левую и правую часть уравнения на 347:
7х-1=1
Заметим, что любое число в нулевой степени равно 1. Следовательно, распишем 1 как 70:
7х-1=70
Приравняв показатели, получим:
х-1=0
х=1
Ответ: х=1
4х-5*2х+4=0
Представим 4х как 22х, получим:
22х-5*2х+4=0
Введем подстановку: 2х обозначим переменной t. Cледовательно: 22х=t2. Получим:
t2-5t+4=0
Найдем корни уравнения по теореме Виета:
t1=1
t2=4
Заменим t на 2х:
2х=1
Заметим, что 20=1
2х=20
Приравняем показатели:
х=0
2х=4
Заметим, что 4=22
2х=22
Приравняем показатели:
х=2
Уравнение имеет два действительных корня 0 и 2.
Ответ: х=0 и х=2
(√2+√3)х + (√2-√3)х=4
Введем подстановку: (√2+√3)х обозначим переменной t. А (√2-√3)х домножим на сопряженные и получим:
((√2+√3)х*(√2-√3)х) / (√2+√3)х = (√4-3)х/(√2+√3)х = 1 x/(2+√3)x = 1/(2+√3)x
Следовательно, 1/(√2+√3)х=1/t.
Получаем:
t+1/t=4
Отметим, что t=0, т.к. деление на 0 не определено. Домножим левую и правую часть на t:
t2+1=4t
t2-4t+1=0
Решим квадратное уравнение:
D=16-4=12, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня
t1=(4-2√3)/2=2-√3
t2=(4+2√3)/2=2+√3
Заменим t на (√2+√3)х:
(√2-√3)х=2+√3
Домножим 2+√3 на сопряженные и получим:
1/(2-√3)=2+√3
Cледовательно:
(√2-√3)х=1/2-√3
Заметим, что 1/2-√3=(√2-√3)-2
(√2+√3)х=(√2-√3)-2
Приравняв показатели, получим:
х=-2
Заменим t на 2+√3
(√2+√3)х=2+√3
Заметим, что 2+√3=(√2+√3)2
Приравняв показатели, получим:
х=2
Ответ: х=-2 и х=2
x+y=6
xy2+7y+12=1
Выразим x:
x=6-y
xy2+7y+12=1
Заметим, что x0=1:
x=6-y
xy2+7y+12=x0
Приравним показатели:
x=6-y
y2+7y+12=0
Решим отдельно квадратное уравнение:
y2+7y+12=0
D=49-48=1, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня
|
|
y1=(-7+1)=-3
y2=(-7-1)=-4
y=-3
x=6-(-3)=9
y=-4
x=6-(-4)=10
Ответ: x=9; y=-3 и x=10; y=-4
1. Сделать равносильный переход от исходного уравнения к системе, включающей область допустимых значений уравнения:
или
,
в зависимости от того, какое неравенство или проще.
Если уравнение содержит неизвестное в основании логарифма:
,
то мы переходим к системе:
2. Отдельно найти область допустимых значений уравнения, затем решить уравнение и проверить, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ уравнения.
3. Решить уравнение, и потом сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение, и проверить, получим ли мы верное равенство.
Логарифмическое уравнение любого уровня сложности в конечном итоге всегда сводится к простейшему логарифмическому уравнению.
Все логарифмические уравнения можно условно разделить на четыре типа:
1. Уравнения, которые содержат логарифмы только в первой степени. Они с помощью преобразований и использования свойств логарифмов приводятся к виду
или
Пример. Решим уравнение:
Решение.
Выпишем ОДЗ уравнения: