Пример 7.1. Найти вероятность возникновения обнаруженных и необнаруженных ошибок в коде с постоянным весом С1з для следующих численных значений: р10= 10-3

Найти вероятность возникновения обнаруженных и необнаруженных ошибок в коде с постоянным весом С¹з для следующих численных значений: р₁₀= 10^-3, P₀₁=10^-4.

Код С¹з состоит из трех комбинаций: 100, 010 и 001. Это так называемые разрешенные комбинации, поскольку в каждой из них имеется по одной единице. Так как код может обнаруживать только одну ошибку, то комбинации, отличающиеся от разрешённых числом единиц, легко обнаруживаются, т.е. составляют обнаруженные ошибки.

Если же, например, вместо переданной комбинации 100 будет принята комбинация 001, то это означает, что возникла необнаруженная ошибка, когда в принятой комбинации со­держится одна единица, но в другом разряде. Полная группа событий при передаче кодовой комбинации 100 представлена на рис. 7.7.

Рис. 7.7. Полная группа событий
при передаче кодовой комбинации 100

Определим вероятности различных событий.

Вероятность события Б:

P(Б)=P(100→010)=P(1→0)P(0→1)P(0→0),

а так как р₀₀=1-P₀₁, то P(Б)=р₁₀P₀₁(1-P₀₁).

Вероятность события В:

P(В)=P(100→001)=р₁₀P₀₀P₀₁=р₁₀P₀₁(1-P₀₁).

Таким образом, вероятность возникновения необнаруженной ошибки:

P_н.ош = P(Б)+P(В)=2р₁₀P₀₁(1-P₀₁).

Вероятность возникновения обнаруженной ошибки равна вероятности перехода в одну из запрещенных кодовых комбинаций:

P_о.ош=P(Г)+P(Д)+P(Е)+P(Ж)+P(З).

При этом вероятность возникновения каждого из событий определится следующими соотношениями:

P(Г)=р₁₀P₀₁P₀₁=р₁₀P²₀₁;

P(Д)=р₁₁P₀₀P₀₁=р₀₁(1-P₀₁)(1-P₁₀);

P(Е)=р₁₁P₀₁P₀₀=р₀₁(1-P₀₁)(1-P₁₀);

P(Ж)=р₁₀P₀₀P₀₀=р₁₀(1-P₀₁)²;

P(З)=р₁₁P₀₁P₀₁=р²₀₁(1-P₁₀).

В итоге получим

P_о.ош=р₁₀P²₀₁+2р₀₁(1-P₀₁)(1-P₁₀)+р₁₀(1-P₀₁)²+р²₀₁(1-P₁₀).

Подставляя значения вероятностей Р₁₀ и Р₀₁, найдем

P_о.ош=1,2*10^-3 и P_н.ош=10^-7.

Из примера вытекает, что вероятность возникновения необнаруженной ошибки значительно меньше вероятности возникновения обнаруженной ошибки.

Ошибка всегда обнаруживается, если кодовая комбинация содержит единиц больше или меньше, чем одна, хотя в некоторых случаях обнаруженные ошибки образуются при искажении одного (переход 100 в 101), двух (переход 100 в 111) или трех символов (переход 100 в 01l). В то же время для возникновения необнаруженной ошибки всегда должны исказиться два символа.

Если аналогичные расчеты проделать для другой комбинации кода С¹з, то получится тот же результат.