Обозначение

Определения

O» большое и «o» малое

Критерий абсолютной сходимости

Операции над рядами

Пусть заданы сходящиеся ряды и. Тогда:

· Их суммой называется ряд

· Их произведением по Коши называется ряд, где

Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится, если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.

Ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся оба положительных ряда и Где

Доказательство. Если сходится то по признаку сравнения тем более сходятся и Наоборот, если сходятся и то сходится и их сумма

«O» большое и «o» малое (O и o) — математические обозначения для сравнения асимптотического поведения функций. Используются в различных разделах математики, но активнее всего — в математическом анализе, теории чисел и комбинаторике, а также при оценке сложности алгоритмов. В частности, фраза «сложность алгоритма есть O (n!)» означает, что при больших n время работы алгоритма (или общее количество операций) не более чем C · n!, где C — некая положительная константа (обычно в качестве параметра n берут объём входной информации алгоритма).

Содержание · 1 Определения · 2 Обозначение · 3 Другие подобные обозначения · 4 Основные свойства o 4.1 Транзитивность o 4.2 Рефлексивность o 4.3 Симметричность o 4.4 Перестановочная симметрия o 4.5 Другие · 5 Асимптотические обозначения в уравнениях · 6 Примеры использования · 7 История

Пусть f (x) и g (x) — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x ₀, причем в этой окрестности g не обращается в ноль. Говорят, что:

· f является «O» большим от g при, если существует такая константа C > 0, что для всех x из некоторой окрестности точки x ₀ имеет место неравенство

;

· f является «о» малым от g при, если для любого найдется такая проколотая окрестность точки x ₀, что для всех имеет место неравенство

Иначе говоря, в первом случае отношение | f | / | g | в окрестности точки x ₀ ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при.

Обычно выражение «f является „O“ большим („о“ малым) от g» записывается с помощью равенства f (x) = O (g (x)) (соответственно, f (x) = o (g (x))).

Это обозначение очень удобно, но требует некоторой осторожности при использовании (а потому в наиболее элементарных учебниках его могут избегать). Дело в том, что это не равенство в обычном смысле, а несимметричное отношение.

В частности, можно писать

f (x) = O (g (x)) (или f (x) = o (g (x))),

но выражения

O (g (x)) = f (x) (или o (g (x)) = f (x))

бессмысленны.

Другой пример: при x → 0 верно, что

O (x ²) = o (x),

но неверно, что

o (x) = O (x ²).

Вместо знака равенства методологически правильнее было бы употреблять знаки принадлежности и включения, понимая O () и o () как обозначения для множеств функций, то есть, используя запись в форме

x ² + x ³ ∈ O (x ²) или

вместо, соответственно, x ² + x ³ = O (x ²) и

Однако на практике такая запись встречается крайне редко, в основном, в простейших случаях.

При использовании данных обозначений должно быть явно оговорено (или очевидно из контекста), о каких окрестностях (одно- или двусторонних; содержащих целые, вещественные или комплексные числа и т. п.) и о каких допустимых множествах функций идет речь (поскольку такие же обозначения употребляются и применительно к функциям многих переменных, к функциям комплексной переменной, к матрицам и др.).