Основные понятия
Ряд
= u 1(х) + u 2(х) + … + un (х) + … (1)
называется функциональным, если его члены являются функциями от х.
Давая х определенные числовые значения, получим различные числовые ряды, которые могут сходится или расходится.
Совокупность значений х, при которых функциональный ряд (1) сходится, называется областью сходимости этого ряда.
Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от х. Поэтому сумму функционального ряда обозначают через S (x).
Областью сходимости функционального ряда чаще всего служит некоторый промежуток оси ОХ.
Функциональный ряд (1) сходится (абсолютно) на некотором промежутке, если на этом промежутке сходится ряд .
Для определения области сходимости функционального ряда часто используют признаки сходимости Даламбера и Коши.
Пример. Найти область сходимости ряда
= 1 + х + х 2 + … + хп + ….
□
Воспользуемся признаком Даламбера:
= = = | x |.
Ряд сходится, если | x | < 1, т.е. при −1 < x < 1 или х (−1; 1).
Следовательно, областью сходимости заданного ряда является интервал (−1; 1).
|
|
Для х (−1; 1) заданный ряд есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Тогда, сумма ряда равна
S (x) = = , т.е.
= 1 + х + х 2 + …+ хп + ….
■
Пусть Sп (x) – сумма п первых членов ряда (1). Если этот ряд сходится и сумма его равна S (x), то
S (x) = Sп (x) + Rn +1(x), (2)
где Rn +1(x) – сумма ряда
uп +1(х) + uп +2(х) + …,
т.е.
Rn +1(x) = uп +1(х) + uп +2(х) + ….
Сумма Rn +1(x) называется остатком ряда (1).
Для любого х из области сходимости Х ряда имеет место соотношение
= S (x),
поэтому из (2) следует
= = 0,
т.е. остаток Rn +1(x) сходящегося ряда стремится к 0 при п →∞.
Сходимость функционального ряда в каждой точке х из области сходимости Х (х Х) называют поточечной сходимостью.
Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в некоторой области Х, если для любого > 0 существует номер N такой, что при всех номерах п ≥ N выполняется неравенство
| S (x) − Sn (x)| < (или | Rn +1(x)| < )
для всех х Х.
Различие поточечной и равномерной сходимостей функционального ряда состоит в том, что в первом случае номер N зависит от и х Х, т.е. N = N (, х), а во втором случае − только от , т.е. N = N (). Поточечную сходимость называют также неравномерной.
Теорема. Признак Вейерштрасса (достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда)
Если все члены ряда удовлетворяют неравенствам
| un (х)| ≤ an (3)
в некоторой области Х и ряд (ап ≥ 0) сходится, то функциональный ряд сходится равномерно в этой области Х.
○ Так как числовой ряд сходится, то его остаток Rn +1→ 0, т.е. для любого > 0 существует номер N такой, что | Rn +1| < при любых п ≥ N.
Согласно неравенству (3),
|
|
| Rn +1(x)| =≤≤ = Rn +1<
при любых п ≥ N и х Х, т.е. | Rn +1(x)| < при любых п ≥ N и х Х, а это и означает равномерную сходимость ряда в области Х. ●
Числовой ряд , члены которого удовлетворяют неравенствам (3), называется мажорантным рядом или мажорантой для функционального ряда , а функциональный ряд в этом случае называется мажорируемым на множестве Х.
Пример. Исследовать ряд на равномерную сходимость
= + + … + + …
на промежутке (−∞,+∞).
□
Так как ≤ , а ряд сходится (р = 2 > 1), то заданный ряд сходится равномерно при любых значения х. Следовательно, ряд является мажорантой для заданного ряда , а заданный ряд является мажорируемым на промежутке (−∞,+∞).
■
Замечание 1. Признак Вейерштрасса является только достаточным признаком равномерной сходимости и не является необходимым.
Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов
10. Если на множестве Х функциональный ряд с непрерывными членами сходится равномерно, то его сумма S (x) непрерывна на Х.
Замечание 2. Если сумма S (x) функционального ряда с непрерывными членами разрывна в области Х, то сходимость этого ряда заведомо неравномерная в области Х.
20. Если функциональный ряд с непрерывными членами сходится равномерно в некоторой области Х и имеет сумму S (x), то ряд
+ + … + + …
сходится и имеет сумму , при этом [ a, b ] X.
Замечание 3. Если функциональный ряд не сходится равномерно, то интегрирование ряда не всегда возможно, т.е.
+ … + + ….
Пример. Исследовать сходимость ряда
.
□
Рассмотрим вспомогательный ряд
= + + … + + ….
Так как ≤ для любого х R, а ряд сходится, то, по признаку Вейерштрасса, вспомогательный ряд сходится равномерно на все числовой оси. Интегрируя его почленно на отрезке [0, х ], получим
= .
Следовательно, по свойству 20, заключаем, что ряд сходится (равномерно) на все числовой оси.
■
30. Если ряд с непрерывными дифференцируемыми членами на отрезке [ a, b ] сходится к сумме S (x), а ряд сходится равномерно на этом отрезке, то исходный ряд сходится равномерно на [ a, b ], его сумма S (x) − непрерывная дифференцируемая функция и справедливо равенство
= .
Замечание 4. Требование равномерной сходимости ряда производных существенно, и его невыполнение может привести к невозможности почленного дифференцирования ряда.
Пример. Рассмотрим ряд
= + + … + + ….
□
Этот ряд равномерно сходится к непрерывной функции при любом х:
≤ , а ряд сходится (р = 2 > 1).
Напишем ряд, составленный из производных членов исходного ряда:
= = + + … + + ….
Этот ряд расходится. Так, например, при х = 0 он превращается в ряд
= 1 + 22 + 32 + … + п 2 + …,
который расходится по следствию к необходимому признаку сходимости числовых рядов:
= = +∞ 0.
Таким образом, ряд производных не является мажорируемым и, следовательно, заданный ряд нельзя почленно дифференцировать.
■
Степенные ряды
Функциональный ряд вида
= а 0 + а 1(х −) + а 2(х −)2 + … + ап (х −) п + …, (1)
где ап, х, − действительные числа, членами которого являются степенные функции, называется степенным рядом по степеням х − ; а 0, а 1, а 2,…, ап − коэффициенты степенного ряда.
При = 0 получаем степенной ряд по степеням х
= а 0 + а 1 х + а 2 х 2 + … + апх п + …. ()
Так как ряд (1) заменой х − = z можно свести к ряду (), то будем рассматривать степенные ряды вида ().
Степенной ряд () всегда сходится в точке х = 0. При х 0 степенной ряд может сходиться или расходиться.