На практике нередко возникают случаи, когда необходимо заменить одно денежное обязательство другим, например с более отдаленным сроком платежа, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи) и т. д. Понятно, что такие изменения не могут быть произвольными. Поэтому возникает вопрос о принципе, на котором должны базироваться изменения условий контрактов. Таким общепринятым принципом является финансовая эквивалентность обязательств. Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи «приведенными» к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования (приведение к более ранней дате) или, наоборот, наращения суммы платежа (если эта дата относится к будущему). Если при изменении условий контракта принцип финансовой эквивалентности не соблюдается, то одна из участвующих сторон терпит ущерб, размер которого можно заранее определить.
Принцип эквивалентности в наиболее простом проявлении следует из формул наращения и дисконтирования, связывающих величины P и S. Сумма P эквивалентна S при принятой процентной ставке и методе ее начисления. Две суммы денег и , выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы. Замена нав этих условиях формально не изменяет отношения сторон.
|
|
На принципе эквивалентности основывается сравнение разновременных платежей.
Сравнение платежей предполагает использование некоторой процентной ставки и, следовательно, результат зависит от выбора ее размера. Пусть сравниваются два платежа и со сроками и , причем и . Соотношение их современных стоимостей зависит от размера процентной ставки.
P
P1
P2
0 i
i0
С ростом размеры современных стоимостей уменьшаются, причем принаблюдается равенство . Для любой ставки имеем . Т.о. результат сравнения зависит от размера ставки, равного . Назовем эту ставку критической или барьерной. На основе равенства
находим
Если дисконтирование производится по сложной ставке, то критическую ставку найдем из равенства
Принцип финансовой эквивалентности реализуется с помощью построения уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных обязательств приведение осуществляется обычно на основе простых процентных ставок, для среднесрочных и долгосрочных – с помощью сложных процентных ставок.
|
|
Консолидация платежей
Одним из распространенных случаев изменения условий контрактов является консолидация (объединение) платежей. Пусть платежи со сроками заменяются одним в сумме и сроком . В этом случае возможны две постановки задачи: если задается срок , то находится сумма , и наоборот, если задана сумма консолидированного платежа , то определяется срок . Рассмотрим обе постановки задачи.
Определение размера консолидированного платежа.
В общем случае, когда , искомую величину находим как сумму наращенных и дисконтированных платежей.
При применении простых процентных ставок получим
где - размеры объединяемых платежей со сроками , - размеры платежей со сроками ,
,
Для общего случая на основе сложных процентных ставок получим
Определение срока консолидированного платежа
Если при объединении платежей задана величина консолидированного платежа , то возникает проблема определения его срока . В этом случае уравнение эквивалентности удобно представить в виде равенства современных стоимостей соответствующих платежей.
При применении простой процентной ставки это равенство имеет вид
, откуда
Очевидно, что решение может быть получено при условии, что , т.е. размер заменяющего платежа не может быть меньше суммы современных стоимостей заменяемых платежей. Кроме того, искомый срок пропорционален величине консолидированного платежа.
Перейдем к определению срока консолидированного платежа на основе сложных процентных ставок. Уравнение эквивалентности запишем следующим образом
Для упрощения дальнейшей записи примем
После чего находим
Т.о. решение существует, если .