Внецентренное сжатие и растяжение как и косой изгиб относится к сложному виду сопротивления бруса. При внецентренном растяжении (сжатии) равнодействующая внешних сил не совпадает с осью бруса, как при простом растяжении, а смещена относительно оси z и параллельна ей (рис. 5.31).
Пусть в точке А (xA, yA) приложена равнодействующая внешних сил Р. Тогда относительно главных осей x и y равнодействующая сила Р вызывает моменты:
Mx = P × yA; My = P × xA. (5.34)
Таким образом, при внецентренном растяжении (сжатии) в поперечном сечении бруса возникает нормальная сила N z= P и изгибающие моменты Mx и My . Следовательно, на основании принципа независимости действия сил в произвольной точке В с координатами x, y нормальное напряжение s определяется следующим выражением:
. (5.35)
Используя выражения для квадратов радиусов инерции сечения:
можно (5.35) преобразовать к следующему виду:
Уравнение нейтральной линии получим, приравнивая нулю выражение для нормальных напряжений s:
. (5.36)
Из (5.36) можно легко определить отрезки, которые отсекает нейтральная линия на координатных осях. Если приравнять x = 0, то получим:
|
|
.
где ay - координата точки пересечения нейтральной линии и оси y.
Решая это уравнение, получим:
.
Аналогичным образом можно определить координату пересечения нейтральной линии и оси x:
.
Можно решить и обратную задачу - определить координаты приложения силы Р при заданных отрезках аx и аy . Опуская простейшие выкладки, приведем окончательные выражения:
.
Наибольшее напряжения, как и при косом изгибе, имеют место в точке наиболее удаленной от нейтральной линии. При внецентренном растяжении (сжатии) в отличие от косого изгиба нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения. Расстояние от начала координат x 0 y до прямой a y + b x + c = 0, как известно из курса аналитической геометрии, определяется по формуле:
.
Следовательно, в данном случае (рис. 5.32):
Рис. 5.32 |
(5.37)
Тогда, как это следует из (5.37), по мере того, как точка приложения силы приближается к центру тяжести сечения, нейтральная линия удаляется от него.
При xA ® 0, yA ® 0, получаем 0 C ® ¥. Сила в данном случае становится центральной, а напряжения в этом случае распределены по сечению равномерно. В тех случаях, когда нейтральная линия пересекает сечение, в нем возникают напряжения разного знака. В противном случае в сечении во всех точках возникают напряжения одного знака. Следовательно, в окрестности центра тяжести всегда существует некая область, называемая ядром сечения, такая, что если точка приложения силы Р расположена в пределах указанной области, то в поперечном сечении возникают напряжения лишь одного знака. При этом если сила приложена по границе ядра сечения, то нейтральная линия касается контура сечения.
|
|
Данный факт имеет большое значение при проектировании колонн из хрупких материалов, (например, бетона, кирпича и т.д.), которые, как правило, имеют существенно меньшую прочность на растяжение, нежели на сжатие. Поэтому при проектировании таких конструкций необходимо предусмотреть, чтобы равнодействующая сжимающая сила была расположена в пределах ядра сечения.