Оптимальное обнаружение полностью известного сигнала

Проблема помехоустойчивости передачи информации.

Элементы теории обнаружения, различения, оценки и фильтрации сигналов.

Любая радиотехническая система передачи информации всегда подвержена воздействию помех.

Они могут быть:

- внутренними;

- вешними.

- естественного происхождения;

- искусственного происхождения.

- стационарными;

- нестационарными.

- гауссовскими;

- негауссовскими.

- узкополосными;

- широкополосными.

- аддитивными;

- мультипликативными.

- большой мощности;

- малой мощности.

Полностью избавиться от их влияния нельзя.

Поэтому борьба с помехами с целью, обеспечения нормального функционирования системы передачи информации, была и остается приоритетной задачей радиотехники.

Сущность проблемы помехоустойчивости заключается в создании(синтезе) системе передачи информации, наилучшим образом противостоит воздействию помех. При этом речь идет о выработке целого комплекса рекомендаций, включая:

1) выбор вида сигнала (модуляции).

2) способа передачи.

3) выбора канала связи.

4) способа приема и обработки информации.

Общие рекомендации по этой проблеме дает наука, которая называется теория информации, однако они либо в принципе не реализуемы, либо очень трудно реализуемы.

В радиотехнике и связи часто применяют более узкий подход к решению проблемы помехоустойчивости, а именно ставят задачу оптимизации приема сигнала при заданном способе передачи. Этому посвящен раздел статистической радиотехники – теория оптимизации приема. Заметим, что в зависимости от задачи, решаемой при приеме (обнаружения сигнала, различения сигнала, оценка параметров сигнала, распознавание сигнала и т.д), а также в зависимости от вида сигнала и помех применяются различные критерии оптимальности, и соответственно даются различные рекомендации.

В настоящее время теория оптимального приема достаточно хорошо разработана и имеет в своем активе ряд оптимальных методов для различной сигнально – помеховой обстановке.

Далее рассмотрим некоторые типовые задачи оптимального радиоприема.

Рассмотрим простейшую задачу обнаружения, а именно обнаружения полностью известного сигнала на фоне аддитивной стационарной гауссовской помехи в виде белого шума. При этом воздействие на обнаружитель (приемник обнаружения) можно представить в виде:

,

где X(t) - помеха;

s(t) – сигнал;

A – условие;

рассматриваемый обнаружитель должен выдавать решение, либо в виде “нет”, либо в виде “да” .

Решение:

Ввиду случайного характера помехи X(t) эта задача является статистической и при её решении возможны 4 ситуации (при двух условиях два решения).

Ситуации:

1) – правильное не обнаружение.

2) – ложная тревога(ошибочное обнаружение).

3) – пропуск сигнала (ошибочное не обнаружение).

4) – правильное не обнаружение.

Каждую из этих ситуаций можно охарактеризовать с соответствующей вероятностью ситуации и соответствующим риском( или стоимостью ошибки, штрафом) .

; - нет ошибки.

Введем понятие средний риск (математическое ожидание риска).

(2)

Выразим вероятности:

(3)

где – вероятность отсутствия сигнала в воздействии(априорная вероятность).

– условная вероятность принятия решения “да” при отсутствии сигнала.

– вероятность присутствия сигнала в воздействии.

– условная вероятность принятия решения “нет” при наличии сигнала.

Обозначим:

- вероятность поисковой тревоги.

- вероятность пропуска сигнала.

D=1-H - вероятность правильного обнаружения.

С учетом выражения (3):

- весовой множитель.

Как видим, средний риск определяется вероятностями ложной тревоги F, вероятностью пропуска сигнала, стоимостью ошибок , и вероятностью отсутствия и присутствия сигнала в воздействия.

Существуют различные критерии оптимальности обнаружения, учитывающие априорную информацию о наличии и отсутствии сигнала, а также допустимые значения F и H и стоимости ошибок для конкретных применений.

Наиболее общим критерием оптимальности является критерий минимума среднего риска (оптимальным считается такой обнаружитель, у которого (4)).

Перепишем выражение для среднего риска в виде

где – весовая разность.

Критерий оптимальности (4) можем заменить критерием максимума весовой разности:

(5)

Т.к. в соответствии с постав ленной задачей оптимальный обнаружитель записан по результатам анализа воздействия u(t) выработать либо решение “да” либо решение “нет”, то его можно охарактеризовать решающей функцией:

Определим алгоритм работы оптимального обнаружителя.

Для этого обозначим плотность вероятности напряжения u(t) при отсутствии сигнала как , если А=0, плотность вероятности u(t) при наличии сигнала , если А=1.

Используя обозначения:

(7)

(6)

- отношение правдоподобия.

- показывает насколько правдоподобнее предположение о наличии сигнала в воздействии u(t), чем предположение об отсутствии сигнала в воздействии u(t).

Напомним, что критерий оптимальности обнаружения:

Из выражения (8) следует, что эта разность будет максимальна, когда будет неотрицательной.

Это дает возможность записать выражение для решающей функции:

(9)

Фактически уравнение (9) описывает алгоритм работы оптимального обнаружителя полностью известного сигнала. В соответствии с этим выражением (9) можно изобразить структурную схему оптимального обнаружителя:

Порог обнаружения определяется: