Скорость любой точки тела при его плоском движении равна геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки в ее вращении вместе с телом вокруг этого полюса.
Скорость точки В:
АВ .
где − скорость полюса; - скорость точки В при вращении вокруг полюса А; w − угловая скорость тела.
Теорема о проекциях скоростей
Проектируя обе части равенства
,
на линию АВ и учитывая, что вектор перпендикулярен к АВ, находим:
,
Тогда:
VB= VA cosα /cosβ
Угловая скорость и угловое ускорение одинаковы для всех точек тела. Угловую скорость ω можно найти, если определены проекции скоростей т. А, В на ось Y, перпендикулярную к оси X, которая проходит через т. А, В − VAY, VBY
VAY=VAsinα; VBY= VB sinβ.
Угловая скорость тела:
Мгновенный центр скоростей
Скорость любой точки фигуры при ее плоском движении можно найти с помощью мгновенного центра скоростей (точки сечения, скорость которой в данный момент времени равна нулю).
Пусть известна скорость т. А и направление скорости т. В при плоском движении твердого тела. Проведем перпендикуляры АР и ВР к направлениям скоростей точек А, В.
|
|
Проекции скоростей точек, лежащих на линиях АР и ВР (например т. А1 и В1) на эти линии равны нулю. В точке пересечения этих линий скорость, проекции которой на две непараллельные оси равны 0, равна нулю.
Положение мгновенного центра скоростей определяется как точка пересечения перпендикуляров к векторам скоростей двух точек тела. Угловую скорость тела ω можно найти из соотношения.
здесь т. Р − мгновенный центр скоростей, АР и ВР − расстояния от точек до мгновенного центра скоростей.
После того как положение мгновенного центра скоростей (т. Р) найдена, скорость любой точки тела определяется как вращательная скорость вокруг т. Р:
Пример 1. Линейка эллипсографа шарнирно соединена с ползунами А, В, которые перемещаются по прямолинейным напрвляющим
OX и OY. Скорость т. А − vА задана. Найти скорость точки В.
Решение. Поскольку направления и известны, то проектируя их на АВ, согласно теореме о проекциях скоростей, получим:
; .
Примерами плоского движения являются движение шатуна кривошипно-шатунного механизма и качение колеса.
Пример 2. Определить скорость ползуна кривошипно-шатунного механизма в заданном положении при известной угловой скорости w кривошипа, длина которого OA = r
Решение.
1. Кривошип ОА вращается вокруг т. О. Скорость т. А направлена перпендикулярно к радиусу ОА:
ОА.
2. Шатун АВ совершает плоскопараллельное движение. Проекции скоростей т. А и В на линию, которая их соединяет равны:
;
3. Такой же результат получим при определении скоростей, используя мгновенный центр (МЦС). Проведем линии АР, ВР перпендикулярно направлениям скоростей в этих точках. Точка их пересечения является МЦС.
|
|
Угловая скорость звена АВ
ωАВ= vA/ AP= vB/ BP
vB= vA BP/ AP
В прямоугольном треугольнике АРВ угол АРВ 30° и
BP/ AP =1 / cos 30°
Лк 2 КУ Лк 3
Ускорения точек твердого тела при его
плоскопараллельном движении
Ускорение любой точки плоской фигуры при ее плоском движении равно геометрической сумме ускорений полюса и ускорений точек при вращении фигуры относительно полюса. Вращательное ускорение равно геометрической сумме нормального и касательного ускорений.
Полное ускорение т. В равно векторной сумме ускорения т. А, а также нормального и тангенциального ускорений т. В относительно А
Вектор нормального ускорения направлен от т. В к т. А, а его модуль:
аВАn= ωАВ2 АВ
здесь ωАВ − угловая скорость тела.
Вектор тангенциального ускорения т. В относительно А направлен перпендикулярно к АВ, а его модуль:
здесь ε − угловое ускорение.
Таким образом, ускорение какой либо точки (например, точки В) твердого тела можно определить, если дано значениях ускорения полюса , известны угловая скорость w и угловое ускорение e тела. В некоторых случаях вместо углового ускорения могут использоваться данные о направлении ускорения в т. В или одной, например, тангенциальной, составляющей.
,
где - ускорение точки В при вращении вокруг точки А: .
Нормальное (центростремительное) ускорение направлено от точки В к полюсу А, .
Тангенциальное (вращательное ускорение) перпендикулярно к нормальному и линии, соединяющей полюс с т. В АВ, а его величина:
. Пример. Определить ускорение т. В кривошипно-шатунного механизма в заданном положении. Кривошип ОА длиной 0,6 м делает n=300 об./мин.
Решение. 1. Кривошип ОА вращается вокруг т. О, а его угловая скорость:
ωОА= p n/ 30 == 10p с−1
Скорость т. А направлена перпендикулярно к радиусу ОА:
vA=6p м/с; ОА.
Скорости точек тела можно определить графически, если откладывать векторы скоростей в масштабе в соответствии с их направлением.
vBA= vB sin 30°= vA tg 30°=3,464p м/с
Ускорение т. В:
(1)
В уравнении (1) известны направления всех векторов, легко определить модули ускорений аА, аВАn. Ускорение аВ направлено по направляющей также как и скорость т. В. Нормальное ускорения аВАn − от т. В к А, а тангенциальное перпендикулярно к АВ.
1. Нормальное ускорение т. А
аАn= ω2ОА ОА= 60 p2 м/с2; т. к. ω=const;
ε=0; а А τ= 0.
Полное ускорение а А =аАn и направлено от т. А к центру вращения в т. О.
2. Угловая скорость звена АВ
ωАВ= vBA / ВА
AB=1,039 м; ωАВ= 3,33p м/с
3. Нормальное ускорение т. B относительно А:
аВАn= ω2АВАВ= 10,39 p2 м/с2
4. Выберем направление координатной оси Y таким образом, чтобы оно совпадало направлением звена АО, направление оси X тогда будет совпадать с направлением
звена АВ. Модули ускорений аВ, аВАτ определим, проектируя левую и правую части уравнения (1) на оси координат X, Y:
аВ cos 30°=аВАn
аВ sin 30°=аА −аВАτ