Формула Бернулли

Формула полной вероятности (ФПВ).

Лекция №3.

Формулы классической теории вероятности.

Пример. В магазин поступают лампочки с двух заводов, с завода №1 – 70%, с завода №2 – 30%. Из каждый 100 шт. на заводе №1 90 стандартные; на заводе №2 из 100 шт. 80 стандартные.

Наудачу купили одну лампочку. Какова вероятность, что она стандартная?

Пусть А: лампочка стандартная. Относительно купленной лампочки может возникнуть два предположения (гипотезы): В₁ – лампочка изготовлена на заводе №1; В₂ – лампочка с завода №2.

Событие А в этом случае можно представить в виде (лампочка стандартна, если она с завода №1 и стандартна или с завода №2 и стандартна).

События АВ ₁зависимые и события АВ ₂ тоже зависимые.

События и несовместные. Тогда, используя теоремы умножения и сложения, имеем

По условию задачи Р(В₁) = 0,7; Р(В₂) = 0,3; ; P(A/B₂)=0,8.

Следовательно, .

Обобщение. Если интересующее нас событие А может произойти только в результате осуществления одного из несовместных событий В₁, В₂,..., В_n, составляющих ПГНС, то вероятность события А равна сумме парных произведений вероятностей событий В₁, В₂,..., В_n, называемых гипотезами или предположениями, на соответствующие условные вероятности события А:

-формула полной вероятености.

2. Формула Байеса (формула пересчета вероятности гипотез).

Пусть событие А может произойти в результате осуществления одной из гипотез В₁, В₂,..., В_n, составляющих ПГНС. Пусть событие А произошло. Пересчитаем вероятность i-той гипотезы в этом случае, т.е. найдем Р_А(В_i).

По теореме умножения имеем:

. Отсюда , в этом случае Р(А) – есть полная вероятность события А.

Последняя формула называется формулой Байеса.

Пример. Возьмем условие предыдущего примера.

Пусть купленная наудачу лампочка оказалась стандартной. Найти вероятность того, что лампочка изготовлена на заводе №1, т.е. требуется пересчитать вероятность гипотезы В ₁.

Формула Бернулли применяется в случае проведения серии одинаковых независимых испытаний.

Если производится серия испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем рассматривать второй случай.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одной и той же вероятностью р, где .

Требуется найти вероятность того, что при n испытаниях событие А появится ровно к раз и, следовательно, не появится (n – к) раз, т.е. найти Р_n(к).

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях А появится к раз и не появится (n-к) раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна . Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний . Тогда: или . Полученная формула называется формулой Бернулли.