В гармонический ряд Фурье

Разложение периодических несинусоидальных функций

Общие определения

Часть 1. Теория линейных цепей (продолжение)

ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Учебное пособие для студентов электроэнергетических специальностей

Т. Электрические цепи периодического несинусоидального тока

Как известно, в электроэнергетике в качестве стандартной формы для то­ков и на­пря­жений принята синусоидальная форма. Однако в реальных условиях формы кривых токов и напряжений могут в той или иной мере отличаться от синусоидальных. Искажения форм кривых этих функций у приемников приво­дят к дополнительным потерям энергии и сниже­нию их коэффициента полез­ного действия. Синусоидальность формы кривой напряжения генератора явля­ется одним из показателей качества электрической энергии как товара.

Возможны следующие причины искажения формы кривых токов и на­пряжений в сложной цепи:

1) наличие в электрической цепи нелинейных элементов, параметры ко­торых за­висят от мгновенных значений тока и напряжения [ R, L, C=f (u,i)], (на­пример, выпрямитель­ные устройства, электросварочные агрегаты и т. д.);

2) наличие в электрической цепи параметрических элементов, пара­метры кото­рых изменяются во времени[ R, L, C=f (t)];

3) источник электрической энергии (трехфазный генератор) в силу кон­структивных особенностей не может обеспечить идеальную синусоидальную форму выходного напряжения;

4) влияние в комплексе перечисленных выше факторов.

Нелинейные и параметрические цепи рассматриваются в отдельных гла­вах курса ТОЭ. В настоящей главе исследуется поведение линейных электриче­ских цепей при воздей­ствии на них источников энергии с несинусоидальной формой кривой.

Из курса математики известно, что любая периодическая функция вре­мени f (t), удов­летворяющая условиям Дирихле, может быть представлена гар­моническим рядом Фурье:

.

Здесь А ₀ – постоянная составляющая, - k -я гармониче­ская составляю­щая или сокращенно k -я гармоника. 1-я гармоника называется основной, а все последующие - выс­шими.

Амплитуды отдельных гармоник А_к не зависят от способа разложения функции f (t) в ряд Фурье, в то же время начальные фазы отдельных гармоник зависят от выбора начала отсчета времени (начала координат).

Отдельные гармоники ряда Фурье можно представить в виде суммы си­нусной и ко­си­нусной составляющих:

.

Тогда весь ряд Фурье получит вид:

.

Соотношения между коэффициентами двух форм ряда Фурье имеют вид:

.

Если k -ю гармонику и ее синусную и косинусную составляющие заменить ком­плекс­ными числами, то соотношение между коэффициентами ряда Фурье можно предста­вить в комплексной форме:

.

Если периодическая несинусоидальная функция времени задана (или мо­жет быть вы­ражена) аналитически в виде математического уравнения, то коэф­фициенты ряда Фурье оп­ределяются по формулам, известным из курса матема­тики:

,

,

,

.

На практике исследуемая несинусоидальная функция f (t) обычно задается в виде гра­фической диаграммы (графически) (рис. 118) или в виде таблицы ко­ор­динат точек (таблично) в интервале одного периода (табл. 1). Чтобы выпол­нить гармонический анализ такой функции по приведенным выше уравнениям, ее необходимо предварительно заменить математиче­ским выражением. Замена функции, заданной графически или таблично математическим уравнением, по­лучила название аппроксимации функции.