Чувствительность систем управления

Параметры системы автоматического управления, т.е. коэффициенты усиления и постоянные времени, зависят от физических параметров элементов, входящих в систему (сопротивления, емкости, индуктивности и т.п.). Величины этих физических параметров могут иметь разброс значений вследствие допусков на изготовление (технологический разброс), изменения параметров в процессе работы, изменения внешних условий (температуры, влажности, атмосферного давления, солнечной радиации и т.п.) Эти изменения параметров приводят к изменению статических и динамических характеристик системы.

Поэтому возникает задача определения влияния разброса и изменения параметров системы на точность системы, на её временные и частотные характеристики. Степень влияния разброса и изменения параметров системы на её статические и динамические свойства называются чувствительностью системы. В качестве оценки чувствительности используются так называемые функции чувствительности, представляющие собой частотные производные координаты системы по вариации параметра:

или частные производные от используемого критерия качества по параметру:

Нулевой индекс показывает, что частные производные берутся при расчетных значениях параметров.

Рассмотрим функции чувствительности временных характеристик, с помощью которых оцениваются влияние малых отклонений параметров системы от расчетных значений на временные характеристики.

Исходной системой называют систему, у которой все параметры равны расчетным значением и не имеют вариаций. Этой системе соответствует основное движение.

Варьированной системой называют такую систему, у которой произошли вариации параметров. Движение её называют варьированным движением.

Дополнительным движением называют разность между варьированным и основным движением.

Пусть исходная система описывается совокупностью нелинейных дифференциальных уравнений в форме Коши:

где − координаты системы. Изменяющиеся со временем параметры системы в процессе её эксплуатации обозначим через

.

Если малые изменения параметров не изменяют порядок дифференциального уравнения, то варьированное движение будет описываться совокупностью уравнений:

Для дополнительного движения можно записать:

При таком способе нахождения дополнительного движения возникает большая ошибка, т.к. вычитаются близкие величины. Поэтому дополнительное движение находится другим способом:

Если допускают дифференцирование по , то дополнительное движение может быть разложено в ряд Тейлора. Если вариации параметров малы, то можно ограничиваться линейными членами разложения. Тогда уравнение для дополнительного движения в первом приближении можно записать в виде:

отсюда следует

Таким образом, первое приближение для дополнительного движения может быть найдено при известных функциях чувствительности и различных вариациях параметров .

Для нахождения функций чувствительности продифференцируем уравнение

По правилу дифференцирования сложной функции имеем:

Полученные уравнения называются уравнениями чувствительности.

Решением этих уравнений является функция , которая характеризует чувствительность решения исходного уравнения к изменению параметра .

Особенностью уравнений чувствительности является то, что они всегда линейны, если даже исходное уравнение было нелинейным, т.к. производные не зависят от . Кроме того, если исходное уравнение линейно относительно то левая часть уравнения чувствительности будет иметь такую же структуру и иметь те же коэффициенты, что и исходное уравнение.

Уравнение чувствительности в общем случае аналитически решено быть не может, т.к. для этого необходимо знать решение исходного уравнения, но с помощью ЭВМ можно совместно решить исходное уравнение и уравнение чувствительности.

Пример.

Система описывается дифференциальным уравнением вида:

(7.4)

Для определения чувствительности к отклонению параметра , уравнение (7.4) продифференцируем по параметру .

Отсюда можно записать:

(7.5)

где .

Уравнение чувствительности (7.5) совпадают по структуре с уравнением (7.4), за исключением правой части. Поэтому они могут быть решены с помощью той же программы ЭВМ, которая использовалась для решения исходного дифференциального уравнения (7.4).

Для исследования чувствительности САУ разработаны методы, позволяющие строить модели чувствительности непосредственно по структурной схеме исходной системы.