Операции над множествами

Объединением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А и В. Обозначение С = А È В.

Пусть даны два множества A и B. Тогда их объединением (рис. 1.2) называется множество A B = {x:x A или x B }

Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Венна.

Рис. 1.2. Объединение множеств А и В.

Свойства:

1) объединение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане 2^X;

2) операция объединения множеств коммутативна ;

3) операция объединения множеств транзитивна ;

4) пустое множество Х={Æ} является нейтральным элементом операции объединения множеств .

5) .

Пример 4 .

Пусть A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6,7}. Тогда .

Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат и А и В. Обозначение С = А Ç В.

Пусть даны два множества A и B. Тогда их пересечением (рис. 1.3) называется множество A B = {x:x A и x B }.

Рис. 1.3. Пересечение множеств А и В.

Пересечение прямой и плоскости:

1) если прямые не параллельны плоскости, то множество пересечений – единственная точка;

2) если прямые параллельны плоскости, то M ¹Æ;

3) если прямые совпадают с плоскостью, то множество пересечений = множеству точек прямой.

Свойства:

1) пересечение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане 2 ^X;

2) операция пересечения множеств коммутативна ;

3) операция пересечения множеств транзитивна ;

4) универсальное множество Е является нейтральным элементом операции пересечения множеств ;

5) операция пересечения множеств идемпотентна ;

6) если Х={Æ} — пустое множество, то .

Пример 5.

Пусть A = {1,2,3,4},B = {3,4,5,6}. Тогда .

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Обозначается: С=А\В.

Пусть даны два множества A и B. Тогда их разностью (рис. 1.4) называется множество A \ B = {x:x A и x B }.

Рис. 1.4. Разность множеств А и В.

Свойства:

1) строго двухместна (т е определена только для двух множеств);

2) не коммутативна, т.е. A\B ¹ B\A. Если A\B=Æ, то А Í В;

3) A \ Æ=A, A \ A=Æ.