М.7.6. Как можно воспользоваться теорией размерностей для решения задачи о сосредоточенной силе?

М.7.5. Из каких условий определяется безразмерный коэффициент в формуле для s R в задаче о сосредоточенной силе на полупространстве?

Из условия равновесия при проектировании всех сил на вертикальную ось. Вырезается полусфера и на вертикальную ось проектируются все напряжения s _R, умноженные на элементарные площадки (чтобы получить элементарные силы). Эти проекции должны уравновешиваться силой, действующей сверху вниз на полупространство (рис.М.7.5).

Поскольку напряжение s _R зависит от величины силы P, угла между вертикалью и радиусом q, а также радиуса R, то, учитывая, что напряжение должно быть пропорционально силе, она попадает в числитель. Далее выбирается тригонометрическая функция от угла q, четная, не зависящая от знака q, имеющая максимум при q =0 и равная нулю при q =± p /2. Такой простейшей функцией является cosq. Естественно, что этот множитель попадает также в числитель. Поскольку напряжение s _R с увеличением расстояния от точки приложения силы должно убывать, то радиус R должен попасть в знаменатель. Однако для того, чтобы уравнять разномерности (слева H/м², а справа, если R в знаменателе в первой степени, то Н/м, а если во второй степени, то H/м²), необходимо записать R в квадрате, откуда получим