Рассмотрим систему двух взаимодействующих частиц (рис. 8.4). На этом рисунке и — внутренние силы взаимодействия частиц друг с другом: = –.
Рис. 8.4
и — внешние силы, действующие на частицы m 1 и m 2, и — скорости частиц.
Запишем уравнения их движения (уравнения второго закона Ньютона):
+ = ;
+ = .
Умножим векторно первое уравнение на радиус-вектор первой частицы , а второе — на .
. (8.3)
Заметим, что . Действительно, . Первое слагаемое справа равно нулю, так как . Следовательно, здесь векторно умножаются совпадающие векторы. Такое произведение равняется нулю.
Перепишем уравнения системы (8.3), учтя ещё, что :
.
Сложим эти уравнения:
.
Векторы и коллинеарны (см. рис. 8.4), поэтому их векторное произведение равно нулю.
Окончательно это уравнение можно записать в таком виде:
. (8.4)
Здесь: — векторная сумма моментов всех внешних сил относительно центра 0;
— момент импульса силы относительно того же центра.
Это уравнение получило название уравнения моментов относительно неподвижного центра: производная по времени момента импульса системы материальных точек относительно произвольного неподвижного центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же центра.
|
|
Уравнение моментов показывает, что изменение момента импульса системы может произойти только в результате действия момента внешних сил. Если внешние силы отсутствуют или их вращающий момент равен нулю = 0, то момент импульса системы остаётся неизменным во времени:
, то есть = сonst.
Спроецировав уравнение (8.4) на произвольную ось Z, получим уравнение моментов относительно этой оси:
.
Производная по времени момента импульса системы относительно оси Z равна сумме моментов внешних сил относительно этой оси.
Если сумма моментов внешних сил относительно оси равна нулю, то момент импульса системы относительно этой оси будет оставаться постоянным.