Сложение гармонических колебаний. Метод векторных диаграмм

Гармоническое колебание x = a Cos (w t + a) геометрически может быть представлено проекцией на произвольное направление x вектора , вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью w. Длина этого вектора равна амплитуде колебания, а его первоначальное направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебания — a. Используя это геометрическое толкование, решим задачу о сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты и направления.

x = x ₁ + x ₂ = a ₁Cos (w t + a₁) + a ₂Cos (w t + a₂).

Построим вектор (под углом a₁ к оси x), изображающий первое колебание. Прибавим к нему векторно вектор , образующий угол a₂ с осью x (рис. 12.8). Сумма проекций этих векторов на ось x равна проекции на эту ось вектора , равного сумме и .

= +

x = x ₁ + x ₂.

Рис. 12.8

Приведем эту векторную диаграмму во вращение с угловой скоростью w вокруг оси, проходящей через начало координат — точку О. При этом равенство x = x ₁ + x ₂ сохранится неизменным во времени, хотя сами проекции x, x ₁ и x ₂ будут теперь пульсировать по гармоническому закону с одинаковой частотой w и с начальными фазами a, a₁ и a₂ — соответственно. В результате сложения двух колебаний:

x ₁ = a ₁Cos (w t + a₁) и x ₂= a ₂Cos (w t + a₂) возникает новое колебание x = x ₁ + x ₂ =

= a Cos (w t + a), частота которого — w – совпадает с частотой складываемых колебаний. Его амплитуда равна модулю вектора , а начальная фаза a, как следует из рис. 12.8, равна:

Для подсчета амплитуды «а» суммарного колебания, воспользуемся теоремой косинусов:

Величина амплитуды результирующего колебания зависит не только от амплитуд складываемых колебаний а ₁ и а ₂, но и от разности их начальных фаз. Колебание с максимальной амплитудой, а = a _max = a ₁ + a ₂ возникает при сложении синфазных колебаний, то есть когда их начальные фазы совпадают: a₁ = a₂.

Если разность фаз (a₂ – a₁) = p, то амплитуда суммарного колебания будет минимальной a = a _min = | a ₁ – a ₂|. Если амплитуды таких колебаний, происходящих в противофазе, равны (a ₁ = a ₂), то амплитуда суммарного колебания окажется равной нулю.