Будем рассматривать множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми. Числовые множества задаются на оси действительных чисел R. На этой оси выбирают масштаб и указывают начало отсчета и направление. Наиболее распространенные числовые множества:
‑ множество натуральных чисел;
‑ множество целых чисел;
– множество рациональных или дробных чисел;
‑ множество действительных чисел.
Множество всех рациональных чисел является счетным множеством. Счетным является множество всех точек плоскости (пространства) имеющих рациональные координаты.
Множество всех действительных чисел является несчетным: оно имеет мощность, называемую континуумом
Некоторое непустое подмножество множества действительных чисел называют ограниченным сверху (снизу), если существует действительное число такое, что выполняется неравенство ().
Всякое число с указанным свойством называют верхней (нижней) гранью множества .
Непустое подмножествомножества действительных чисел называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.
|
|
В противоположность этому определению, множество называется неограниченным сверху (снизу), если какое бы число мы бы не предложили в качестве верхней (нижней) границы множества , всегда найдется элемент этого множества, который будет больше (меньше) .
Множество, неограниченное как сверху, так и снизу, называется неограниченным множеством.
Наименьшую из верхних граней непустого подмножества множества действительных чисел называют точной верхней гранью этого множества и обозначают sup . Наибольшую из нижних граней непустого подмножества множества действительных чисел называют точной нижней гранью этого множества и обозначают inf . Символы sup и inf являются сокращениями от supremum (самый верхний) и infimum (самый нижний).
Примем без доказательства утверждение о том, что всякое ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
Граничной точкой множества называется точка, у которой в любом содержащем ее открытом промежутке найдутся как точки, принадлежащие множеству, так и точки не принадлежащие множеству. Сама граничная точка может, как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему.
Граница множества – совокупность граничных точек множества.
(множество натуральных чисел) ограниченно снизу (например, числом ) и не ограничено сверху;
(множество действительных чисел) неограничено;
множество отрицательных чисел неограничено снизу и ограничено сверху.
Соединения. Бином Ньютона.
Рассмотрим совокупность различных элементов . Произвольная упорядоченная выборка из этих элементов
|
|
(; )
называется соединением. Эта выборка может быть как без повторений, так и с повторениями.
Раздел элементарной математики, в котором для конечных множеств рассматриваются различные соединения элементов, такие, как сочетания, размещения, перестановки, а также все виды соединений с повторениями называется комбинаторика. Задачи комбинаторики впервые рассматривались в связи с возникновением теории вероятностей, где к задачам комбинаторики приводит подсчет вероятностей на основе гипотезы равновозможных элементарных событий.
Размещениями из элементов по () называют их соединения, каждое из которых содержит ровно различных элементов (выбранных из данных элементов) и которые отличаются либо сами элементами, либо порядком элементов.
Определим число размещений из элементов по .
Будем строить произвольное соединение последовательно. Сначала определим его первый элемент . Очевидно, что из данной совокупности элементов его можно выбрать различными способами. После выбора первого элемента , для второго элемента остается способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Для элементов формула приобретает вид: