Два замечательных предела

Непрерывность сложной функции

Непрерывность и точки разрыва монотонной функции

Классификация точек разрыва

Определение непрерывности функции по Коши и по Гейне. Непрерывность и арифметические операции

Два замечательных предела

План

Лекция 5. Непрерывность функции одной переменной

Основные достоинства продукционных систем связаны с простотой представления знаний и организации логического вывода.

Достоинства и недостатки модели

Свойства ПС

1. Модульность - отдельные ПП могут быть добавлены, удалены или изменены в БЗ независимо от других. Кроме того, модульный принцип разработки (сборки) продукционных СОЗ позволяет автоматизировать ее проектирование.

2. Каждое ПП - самостоятельный элемент знаний (локальный источник знаний); отдельные ПП связаны между собой только через поток данных, которые они обрабатывают.

3. Простота интерпретации - «прозрачная» структура ПП облегчает их смысловую интерпретацию.

4. Естественность - знания в виде «что делать и когда» являются естественными с точки зрения здравого смысла.

Недостатки продукционных систем являются:

1. Когда число правил становится большим и возникают непредсказуемые побочные эффекты от изменения старого и добавления нового правила.
2. Кроме того, затруднительна оценка целостного образа знаний, содержащихся в системе.
3. Низкая эффективность обработки знаний.

Для компенсации указанных недостатков вводятся наряду с продукциями и другие представления, вводящие структуру на множестве правил. Это может быть иерархия продукций, фреймовые представления и т.п.

При разработке небольших систем, состоящих из нескольких десятков правил, проявляются в основном положительные стороны систем продукций, однако при увеличении объема знаний более заметными становятся слабые стороны.

Первый замечательный предел:

. (1)

Заметим, чт при и числитель, и знаменатель дроби стремятся к 0, т.е. при вычислении мы имеем дело с неопределенностью типа.

Докажем равенство (1). Пусть. Величина угла равна (рис.1). Будем обозначать площадь фигуры:. Из геометрических соображений:

. (2)

Враховуючи, що,,, из (2) получим:

,

откуда после умножения всех частей неравенства на получим:

. (3)

Для все части неравенства (3) положительные, поэтому после обращения (3) имеем:

.

Помножим последнее неравенство на (для). Получим:

. (4)

Помножим (4) на -1:

.

Ко всем частям последнего неравенства добавим 1:

. (5)

Пусть теперь. Сделаем замену переменной:. Тогда, и для такого аргумента имеет место неравенство (5), то есть:

. (6)

В неравенстве (6) вернемся к переменной:

. (7)

Объединяя (5) и (7), имеем: для выполняется неравенство

Из последнего неравенства по теореме о трех последовательностях и определению предела функции по Гейне вытекает, что

.

.

Аналогами первого замечательного предела являются пределы:

Докажем некоторые из приведенных равенств.

.

Задание. Доказать другие аналоги первого замечательного предела.

Пример.

Второй замечательный предел:

. (8)

Если встречается предел вида:

,

нужно выделять второй замечательный предел,- число:

Пример.

.