2014-02-10
1042
Л Е К Ц И И 18-20
0,10, 0,05, 0,01
| d.f. | 0,10 | 0,05 | 0,01 | d.f. | 0,10 | 0,05 | 0,01 |
| 2,71 4,61 6,25 7,78 9,24 10,64 12,02 13,36 14,68 50,99 17,28 18,55 19,81 21,06 22,31 23,54 24,77 25,99 27,20 28,41 | 3,84 5,99 7,81 9,49 11,07 12,59 14,07 15,51 16,92 18,31 19,68 21,03 22,36 23,68 25,00 26,30 27,59 28,87 30,14 31,14 | 6,63 9,21 11,34 13,28 15,09 16,81 18,48 20,09 21,67 23,21 24,72 26,22 27,69 29,14 30,58 32,00 33,41 34,81 36,19 37,57 | 29,62 30,81 32,01 33,20 34,38 35,56 36,74 37,92 39,09 40,26 51,80 63,17 74,40 85,53 96,58 107.56 118,50 | 32,67 33,92 35,17 36,42 37,65 38,89 40,11 41,34 42,56 43,77 55,76 67,50 79,08 90,53 101,88 113,14 124,34 | 38,93 40,29 41,64 42,98 44,31 45,64 46,96 48,28 49,59 50,89 63,69 76,15 88,38 100,42 112,33 124,12 135,81 |
В математической физике часто рассматривается величина, которая зависит не только от положения точки 
, то есть от ее n (часто n = 1, 2, 3) пространственных координат, но и еще от какой-либо переменной, в большинстве случаев от времени t. Если рассматриваемая величина является числом, то принято говорить, что речь идет о скалярной функции точки; если же рассматриваемая величина – вектор, то говорят о векторной функции точки.
Например, плотность заряда в различных точках изолированного наэлектризованного тела представляет собой скалярную функцию точки; электрическое поле, которое создается этими зарядами в различных точках тела, представляет собой векторную функцию точки.
Вместо терминов «числовая функция точки», «вектор функция точки» употребляются равнозначные: скалярное поле, векторное поле.
Скалярным полем называется область плоскости, каждой точке которой сопоставляется некоторое значение скалярной величины.
Так как произвольная точка на плоскости характеризуется координатами x, y или радиус-вектором 
, то аналитически любое скалярное поле может быть задано либо в виде функции координат 
, либо в функции радиус-вектора 
. Геометрически двумерное скалярное поле можно рассматривать как некоторую поверхность в пространстве трех измерений, где всякой точке (x, y) плоскости соответствует своя высота 
.
Пусть 
является в заданной области непрерывной, однозначной и дифференцируемой функцией координат. Возьмем определенную точку и проведем через нее прямую по некоторому направлению (l). Рассмотрим значение функции j(M) в самой точке M и в близкой к ней точке 
отстоящей от M на расстоянии D l вдоль выбранного направления l. Предел отношения
,
если он существует, называется производной от функции j(M) по направлению (l). Эта производная характеризует быстроту изменения функции j(M) в точке M в направлении (l).
Функция j(M) имеет в каждой точке бесчисленное множество производных, но нетрудно показать, что производная по любому направлению выражается через производные по трем взаимно перпендикулярным направлениям X, Y, Z по формуле:
.
Введем в рассмотрение поверхности уровня скалярного поля. Эти поверхности характеризуются условием, что во всех точках такой поверхности функция j сохраняет одно и то же постоянное значение. Придавая этой постоянной различные численные значения, получим семейство поверхностей уровня. Будем считать, что через каждую точку M некоторой области проходит гладкая поверхность уровня (например S).
Если 
, где 
, есть непрерывно дифференцируемое скалярное поле, то градиентом его называется вектор
grad u 
или, короче,grad u = Ñu, где 
. Градиент поля u в данной точке (x, y, z) направлен по нормали к поверхности уровня u (x, y, z) = C, проходящей через эту точку. Этот вектор для каждой точки поля по величине
и направлению по нормали дает наибольшую скорость изменения функции u.
Если каждой точке 
некоторой части плоскости сопоставляется определенная векторная величина 
, то говорят, что задано векторное поле 
или 
.
Заметим, что поскольку вектор в пространстве определяется тремя скалярными проекциями 
, 
и 
, то задание векторного поля эквивалентно заданию трех скалярных полей 
, 
и 
.
Если 
есть непрерывно дифференцируемое векторное поле, то скаляр
называется дивергенцией этого поля.
Если n – любое направление в пространстве, то проекция вектора a (r) на это направление будет
.
Выделим в векторном поле некоторый объем V и пусть S есть поверхность, ограничивающая этот объем, а n – направление нормали к S, внешней по отношению к объему V. Применим формулу Остроградского к функциям , и , считая, что эти функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка в области V вплоть до ее границы:
таким образом, формулу Остроградского можно записать так:
div a dv = 
При изучении уравнений эллиптического типа мы часто будем пользоваться формулами Грина, являющимися прямым следствием формулы Остроградского.
Формулу Остроградского обычно записывают в виде
,
где T – некоторый объем, ограниченный достаточно гладкой поверхностью S, 
- элемент объема, 
- углы внешней нормали n к поверхности S с координатными осями, P, Q, R - произвольные дифференцируемые функции.
Если P, Q, R рассматривать как компоненты некоторого вектора 
, то формулу Остроградского можно записать следующим образом:
,
где
div A = 
, 
.
Пусть 
и 
- функции, непрерывные вместе со своими первыми производными внутри 
и имеющие непрерывные вторые производные внутри T. Рассмотрим интеграл
.
Применяя очевидное тождество
и два аналогичных для 
и 
, можем переписать интеграл в виде
.
Преобразуя первое из слагаемых в правой части по формулу Остроградского
,
или
.
Таким образом, мы получим первую формулу Грина:
=
. (1)
Левая часть этого равенства не меняется при перестановке функций u и v, а потому то же относится и к правой части, то есть, мы можем написать
=
,
откуда и получается вторая формула Грина:
. (2)
Следствием формулы Грина является важная в приложениях формула, дающая значение функции в любой точке 
внутри T в виде суммы некоторого поверхностного и некоторого объемного интеграла.
Пусть U (M) – функция, непрерывная вместе с первыми производными в области D + S и имеющая вторые производные в области D вплоть до S. Рассмотрим функцию 
, где - некоторая внутренняя точка области D, а R – расстояние от до переменной точки M в области D. Поскольку эта функция имеет внутри D разрыв непрерывности в точке 
, то непосредственно применить вторую формулу Грина в области D к функциям u и v нельзя. Выделим из этого тела малую сферу с центром и малым радиусом r и обозначим через 
оставшуюся часть тела D и через 
- поверхность выделенной сферы. В области функции U и V обладают требуемым свойством непрерывности, и, применяя к этой области вторую формулу Грина, мы получим:
,
причем интегрирование совершается по обеим поверхностям S и , ограничивающим тело . Но, функция удовлетворяет уравнению Лапласа, то есть, 
. Кроме того, на сфере нормаль (n) направлена внутрь сферы прямо противоположна направлению радиуса R, так что производная по нормали под знаком интеграла по есть взятая с обратным знаком производная по R. Принимая во внимание все сказанное, мы можем переписать формулу (1) в виде:
.
Будем теперь стремить радиус r выделенной сферы у нулю. При этом первое из слагаемых в написанной формуле будет стремиться к объемному интегралу по всему телу D. Второе слагаемое от r не зависит. Покажем, что третье из написанных слагаемых стремится к пределу 
. Принимая во внимание, что на величина R имеет постоянное значение r, можем написать:
.
Применяя теорему о среднем, будем иметь:
,
где 
- некоторая точка на поверхности сферы . Эта точка стремится к при r ® 0. Откуда видно, что написанное выше выражение стремится к . Применяя теорему о среднем к последнему слагаемому, получим
.
Производные первого порядка функции U по любому направлению при стремлении к остаются ограниченными, так как по предположению функция U везде внутри D имеет непрерывные производные до второго порядка. Множитель 4pr стремится к нулю при r ® 0. Отсюда видно, что последнее слагаемое в формуле (2) стремится к нулю. Окончательно формула (2) в пределе основную интегральную формулу Грина:
. (3)
