Рис. 3.2
График тока имеет характерный вид периодической последовательности косинусоидальных импульсов с отсечкой. Искомая последовательность выражается аналитически при подстановке (3.6) в (3.5) как:
(3.7)
где , , , - параметр, называемый углом отсечки и определяемый из условия: как при (равно половине части периода колебаний, когда протекает ток).
Спектр тока выражается формулой (3.3), где амплитуды компонент спектра находятся при подстановке (3.7) в выражения для этих коэффициентов, данные после (3.3):
(3.8)
где , - функция Берга ого порядка,
Для получения максимально возможного значения амплитуды с номером надо соответствующим образом выбирать .
Пример. Нелинейный элемент имеет кусочно-линейную ВАХ с параметрамиВ, мА/В. К данному элементу приложено напряжение , В. Вычислить постоянную составляющую и амплитуду первой гармоники тока .
Так как , то . Значения функций Берга:
По формулам (3.8) имеем мА, мА.
Степенная аппроксимация. На ее применении основан метод с использованием тригонометрических формул кратного аргумента. Пусть в окрестности рабочей точки вольт-амперная характеристика нелинейного элемента представлена в виде:
|
|
(3.9)
Приложенное к двухполюснику напряжение дается выражением (3.6). Используя известные формулы:
путем подстановки (3.6) в (3.9) получим выражение для спектра тока:
(3.10)
Из (3.10) следует общее выражение для амплитуды тока гармоники с номером :
(3.11)
Вывод: постоянная составляющая и амплитуды четных гармоник определяются коэффициентами степенного ряда с четными номерами. Амплитуды нечетных гармоник зависят лишь от нечетных коэффициентов.
Пример. Рассмотрим нелинейные искажения в транзисторном усилителе с резистивной нагрузкой , показанном на рис. 3.3.
Полагаем, что амплитуда входного гармонического сигнала достаточно велика, чтобы вызвать необходимость учета нелинейности проходной характеристики транзистора . Аппроксимируем характеристику в окрестности рабочей точки полиномом второй степени:
На вход усилителя подается напряжение
В коллекторной цепи получим спектр тока, содержащий постоянную составляющую, а также первую и вторую гармоники с амплитудами (см. (3.11)):
Рис. 3.3
Эти гармоники тока, проходя через резистор нагрузки , создают на нем падение напряжения, которое является выходным сигналом. Уровень нелинейных искажений на выходе усилителя оценим, найдя коэффициент нелинейных искажений (3.4). В данном случае
Заметим, что коэффициент нелинейных искажений увеличивается с ростом амплитуды входного сигнала .
Показательная аппроксимация. Здесь применяется метод, основанный на использовании функций Бесселя мнимого аргумента. Если ВАХ двухполюсника аппроксимирована выражением
|
|
(3.12)
для вычисления спектра тока используют формулу
где - модифицированная функция Бесселя ого порядка.
Пусть на двухполюсник действует напряжение (3.6). Спектр тока выражается формулой (3.3), где амплитуды компонент спектра находятся при подстановке (3.12) в выражения для этих коэффициентов, данные после (3.3). В результате получим спектр тока:
(3.13)
Аппроксимация точного решения спектральной задачи в виде разложения (3.3) конечным числом первых членов этого разложения:
(3.14)
где .
На основе аппроксимации (3.14) разработан приближенный графо-аналитический метод спектрального анализа колебаний. Он широко применяется для оценки нелинейных искажений в усилителях, модуляторах и т.д. В отличие от уже изученных методов он не требует знания аппроксимации ВАХ нелинейного элемента. Пусть на элемент подается напряжение
Метод пяти ординат позволяет оценить постоянную составляющую тока и амплитуды первых четырех его гармоник. Тогда в (3.14) полагают . Для пяти моментов времени, когда , соответственно, находят значения входного напряжения. Графически находят пять ординат ВАХ, которые соответствуют этим пяти точкам входного напряжения: (см. рис. 3.4). При этом расстояния между точками на оси абсцисс (оси напряжения ) оказываются одинаковыми.
Рис. 3.4 при , (),(),(),(),
Искомые постоянная составляющая и амплитуды первых четырех гармоник спектра тока: , , находят из условия, что ординаты пяти точек, найденные на ВАХ, удовлетворяют в соответствующие моменты времени уравнению (3.14). Получим систему линейных уравнений:
(3.15)
Решая систему (3.15), найдем искомые величины:
(3.16)
Метод трех ординат - менее точный, но более простой в реализации, чем изученный метод пяти ординат. Для него в (3.14) . Заданы три момента времени, для которых . Для них ищут графически три точки на ВАХ элемента. Расчетные формулы имеют вид:
(3.17)
Аппроксимация с помощью ряда Тейлора. В некоторых случаях функциональная зависимость ВАХ может быть сложной. Разложение этой зависимости в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки и ограничение числа членов разложения позволяет приближенно перейти к более простой степенной аппроксимации. Применение последней для решения спектральной задачи уже было изучено.
Пример. При сложении двух синусоидальных колебаний близких частот (и , где ) образуются биения. Их можно описать как АМ колебания с частотой заполнения и огибающей
(3.18)
где - параметр, называемый глубиной модуляции.
Найдем спектр огибающей. Представим функцию (3.18) как , где . Разложим эту функцию в ряд Тейлора в окрестности единицы:
(3.19)
Используя тригонометрические формулы
найдем спектр огибающей (3.18):
(3.20)
Видно, что колебания огибающей не являются гармоническими. Однако, если амплитуды складываемых колебаний сильно различаются, то . Тогда в линейном приближении имеем:
(3.21)
и колебания огибающей приближенно оказываются гармоническими.
На рис. 3.5 методом проекций определен отклик нелинейного элемента, обладающего гистерезисом, на воздействие косинусоидального сигнала, например, - тока в случае индуктивного элемента. Пунктирная линия изображает первую гармонику магнитного потока. Использована кусочно-линейная аппроксимация ампервеберной характеристики элемента.
Рис. 3.5
Первая гармоника магнитного потока сдвинута относительно входного сигнала по фазе на угол .
Вывод: Наличие гистерезиса приводит к появлению сдвига фаз между воздействующим гармоническим сигналом и первой гармоникой негармонического отклика.
|
|