Постулаты квантовой механики
Исторически квантовая механика строилась на постулатах, которые не имели объяснения на момент их введения, но, следуя им, ученые добивались хорошего соответствия расчетных и экспериментальных характеристик квантовых явлений. Например, Планк постулировал, что излучение атомов дискретно и наименьшая порция энергии излучения , что позволило разрешить проблему спектра излучения абсолютно черного тела («ультрафиолетовая катастрофа»). А Нильс Бор постулировал существование стационарных (неизлучающих) орбит электронов в атоме, что позволило точно рассчитать спектр водорода и постоянную Ридберга. Но с развитием квантовой механики эти постулаты получили свое объяснение.
Однако сам формализм квантовой механики не имеет строгого (в математическом смысле) обоснования, и основан на формальных постулатах. Но, разумеется, к формулировке этих постулатов физики пришли в результате обобщения экспериментальных данных и анализа соответствия им создаваемых методов математического описания квантовых процессов.
|
|
Для того, чтобы сформулировать эти постулаты сначала введем некоторые основные понятия функционального анализа, оперирующего в пространстве функций, вообще говоря, комплексных.
Пусть – набор обобщенных координат, например, координат и скоростей частицы, или, как еще говорят, вектор в конфигурационном пространстве Q.
Определение
Скалярным произведением функций j( ) и y( ) называется интеграл
.
Следствие
Если , то говорят, что j и ψ ортогональны.
Пример. Пусть . Рассмотрим их скалярное произведение на интервале [-π, π]:
,
то есть эти функции ортогональны на интервале [-π, π] при n ≠ m.
В новых обозначениях полученные ранее соотношения можно записать в виде:
- условие нормировки на 1,
- условие нормировки на δ- функцию,
- амплитуда вероятности,
Определение.
Оператором называется математический объект (обозначаемый «крышкой» над буквой, например, ), действующий на функцию, а результатом этого действия является другая функция, т.е.
.
Примером операторов могут служить, в частности, операторы дифференцирования и интегрирования:
.
Пример. а) Пусть , тогда действие интегрального оператора определяется соотношением:
.
б) Рассмотрим дифференциальный оператор. Пусть , тогда
.
Определение. Если функция y удовлетворяет уравнению
,
где f – действительное число, то такая функция называется собственной функцией оператора , а число f - собственным числом оператора .
Скалярное произведение с оператором обозначается следующим образом:
.
Часто в физической литературе можно встретить и другие обозначения:
|
|
В таких обозначениях оператор действует на функцию, стоящую справа, а комплексносопряженный оператор действует на функцию, стоящую слева.
Определение
Оператор называется эрмитово сопряженным к на множестве функций W, если
.
Пример. Пусть оператор , то есть его действие заключается в умножении функции на мнимую единицу. Тогда и на основании соотношения
оператор является эрмитово сопряженным к .
Определение
Если , то оператор называется самосопряженным или
эрмитовым оператором.
Следствие
Эрмитов оператор удовлетворяет соотношению
,
которое показывает, что скалярное произведение – действительно, т.е. можно записать
, (2.1)
где f – действительное число.
Пример. Пусть оператор , а функцию возьмем в виде , тогда на этом классе функций
то есть такой оператор является самосопряженным (эрмитовым).
Теперь перейдем к формулировке постулатов квантовой механики.
Первый постулат квантовой механики был упомянут ранее и определяет смысл волновой функции, а именно:
Квантовая система полностью описывается волновой функцией y( ), а величина
есть вероятность обнаружить частицу в элементе объема конфигурационного пространства , расположенного в точке, определенной вектором .
Второй постулат квантовой механики есть формулировка принципа суперпозиции для волновых функций, а именно:
Если y1 – волновая функция состояния 1, а y2 – волновая функция состояния 2, то их линейная комбинация y3 = с1y1 + с2y2 описывает либо состояние 1, либо состояние 2.
Как нетрудно заметить, квантовый принцип суперпозиции отличается от классического, проявляющегося, например, при интерференции волн. Рассмотрим для примера образование молекул водорода и хлористого водорода.
При образовании молекулы водорода вероятность каждому из двух электронов находиться около какого-нибудь ядра одинакова и равна 0.5.
В молекуле хлористого водорода вероятность электрону, взятому у водорода, находиться около иона хлора значительно больше, то есть с1«с2.
Третий постулат квантовой механики (принцип соответствия):
Каждой физической величине F в квантово-механическом описании соответствует линейный эрмитовый оператор , собственные значения которого равны измерениям величины F в состояниях, описываемых волновой функцией , являющейся собственной функцией оператора , т.е.
(2.2)
Определение.
Собственное значение f называется квантовым числом оператора .
Следствие
Поскольку измерение величины F обязательно дает одно из собственных значений, то любая волновая функция в случае дискретного набора (спектра) собственных значений f может быть представлена в виде суперпозиции всех состояний
, (2.3)
а в случае непрерывного спектра
. (2.4)
Если система допускает и дискретный и непрерывный спектр, то
. (2.5)
Четвертый постулат квантовой механики:
В случае дискретного спектра измерение F дает значение fn с вероятностью , а в случае непрерывного спектра измерение F дает значение в интервале (f, f+df) с вероятностью .
Условие нормировки в общем случае имеет вид:
.
Величины cn и c(f) называются амплитудами вероятности.
Следствием этих постулатов являются следующие полезные соотношения:
– выражения для амплитуд вероятности
(2.6а)
(2.6б)
– условия нормировки
(2.6в)
(2.6г)