Интегрирование и линеаризация модели
Компартментальное моделирование
Этап верификации
Верификация модели – анализ записей математической модели с токи зрения адекватности задачи. Верификация заключается в том, что на этапе создания модели воспроизводится круг моделируемых явлений или процессов, для которых имеется достоверный экспериментальный материал.
Компартмент – количество вещ-в, выделяемое в биологической системе и обладающее свойством единства, которое в процессах транспорта и химических преобразований можно рассматривать, как целое. Пример: весь кислород в легких, весль углекислый газ в венах крови и т.п.)
В компартментальной модели каждому компартменту соответствует переменная состояния (концентрация, масса, давление жидкости или газа)
Естественные входы и истоки и искусственные.
Интегральная модель – направлена на изучение общих принципов, явлений присущих группе объектов, систем (интегральные), то есть рассмотрение объекта в целом.
|
|
Линейная модель – рассматривает каждый объект в отдельности (в медицине – часто).
Для интегральной модели достаточен этап верификации; для линейной модели – необходима идентификация.
Идентификация – количественный выбор параметров модели, дающий наиболее близкое совпадение с результатами контрольных экспериментов.
Для линейных систем разработано большое количество методов; для нелинейных используются эвристические методы с использованием ЭВМ.
Метод «черного ящика» - исследование системы с точки зрения входов и выходов и изучение реакции системы на те или иные входные параметры, а внутренняя структура не рассматривается.
Минус: не учитывается внутренние изменения, при изменении внешних условий.
«Вход» – «состояние» – «выход» – здесь изменения учитываются, но опять же без учёта внутренних изменений.
Диагностический аппарат – набор формальных правил, позволяющих на основании сведений о больном сформулировать диагноз, а аткже дать количественную или качественную оценку состояния больного.
Мат. Описание строится на основании формулы Байеса.
=
x - набор симптомов.
Pi – список заболеваний.
Допущения:
1) x и Di – независимы.
2) Уравнения влияния симптомов одинаковые.
- вероятность диагноза D при симптоме x.
- Вероятность заболевания по диагнозу.
P(x) – вероятность наличия симптома.
- на основе статистических даных и экспертных оценок.
– наличие симптома при отсутствии диагноза;
– вероятность отсутствия диагноза
ДУ – это уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию y=f(x)
|
|
и ее производные y’, y’’ и т.д.
ОДУ содержит одну независимую переменную.
ДУ в частных производных:
y = f (x,t),
Порядок ДУ – порядок старшей производной, входящей в состав уравнения.
Решением ДУ называется всякая функция y = f(x), которая, будучи подставленной в ДУ, превращает его в тождество.
y’ = f (x,y) – ДУ, разрешенное относительно производной.
Теорема о единственности решения: если в уравнении y’ = f (x,y) функция f (x,y) и ее частная производная непрерывны в некоторой области D на плоскости (0,x,y), содержащей некоторую точку то существует единственное решение этого уравнения y = Ф(x), удовлетворяющее условию:.
Геометрический смысл – существует график y = f(x), проходящий через точку;
– начальные условия.
Общим решением ДУ 1-го порядка называется функция, которая зависит от одной производной постоянной С и удволетворяет следующим условиям:
1) Функция является решением ДУ при любом значении С.
2) Каковы бы ни были начальные условия, можно найти такое, что, удовлетворяющие данному условию.
Бывает, что решение найдено в виде Ф(x, y, C) = 0 (т.е. не разрешено относительно (y)), такое решение называется общим интегралом ДУ.
Частным решением ДУ называется любая функция, которая получается из общего решения при определенном значении.
Решить ДУ значит:
1) Найти общее решение
2) Найти частное решение, которое удовлетворяет заданным н.у. (если они не заданы – то этот пункт пропускают)
Функция f (x, y) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных x и y, если при любом λ и справедливости, справедливо следующее:
ДУ первого порядка называется однородным относительно x и y, если f (x, y) – есть однородная функция нулевого измерения относительно x, y, то есть;
Линейное уравнение 1-го порядка – уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной
P(x) и Q(x) – заданные непрерывные функции или некоторые постоянные.
Теорема:
Вторые разности:
Аналогично разность производных:
Вторые разности производных:
Нахождение значения функции по принципу разложения в ряд Тейлора:
Полевая задача возникает при рассмотрении магнитной подсистемы в процессе моделирования электромагнитных преобразователей.
Существуют некоторые допущения: в большинстве случаев магнитное поле стационарное и ассиметричное. Это описывает ДУ второго порядка в частных производных.
Основное уравнение для описания магнитного поля (Пуассона)
А – вектор магнитного потенциала через оператор набла:
Существует 2 основных метода решения полевой задачи
Метод конечных разностей:
1 этап) на плоскости в области А, в которой ищутся решения, строится область
состоит из ячеек с одним размером и является приближенным отражением области А.
2 этап) Заданное ДУ в частных производных заменяется в узлах соответствующим конечно-разностным уравнением.
3 этап) С учетом граничных условий устанавливается значение искомого решения в граничных узлах области.
U – функция двух переменных.
От ДУ в частных производных переходят к линейному уравнению.
Для уравнения Пуассона используется разложение в ряд Тейлора в окрестности точки (x;y) вектора магнитного потенциала
Необходимое значение т.к. в узлах
Таблица конечных разностей (экстраполяция)
x | U=x³ | D | D² | D³ |
*Трудоёмкий метод