.
Возможны другие формы записи уравнения плоскости, связанные с различным представлением вектора нормали .
Если вектор задан своим модулем и направляющими косинусами,
то подстановка этих соотношений в равенство (*) дает
или
- нормальное уравнение плоскости,
где .
Параметр определяет проекцию вектора , проведённого из начала координат в любую точку плоскости на направление вектора нормали в этой точке, - расстояние от начала координат до плоскости.
Пусть точка, не лежащая в плоскости ; а - произвольная точка, лежащая в этой плоскости. Радиус-векторы этих точек - и .
Отклонение точки от плоскости есть разность проекций радиус- векторов и на направление нормали. Модуль отклонения равен расстоянию от точки до плоскости . Отклонение положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от плоскости; в противоположном случае отрицательно. В координатной форме, с учетом , отклонение от плоскости определяется равенством
.
Для определения расстояния от плоскости до начала координат разделим левую часть уравнения плоскости на модуль вектора нормали
|
|
: ,
.
Искомое расстояние равно .
Подставляя координаты точки и точки , лежащей в плоскости, в формулу вычисления отклонения, находим
.
Знак минус означает, точка и начало координат лежат по одну сторону от плоскости.
Расстояние между параллельными плоскостями – расстояние от точки, лежащей на одной до другой плоскости.
Пример 3. Записать уравнения плоскостей и с нормальным вектором , отстоящих на расстоянии, равном двум от начала координат в направлении вектора , и в противоположном направлении.
Определим, предварительно, направляющие косинусы вектора
С учетом смысла параметра в нормальном уравнении плоскости искомые уравнения имеют вид
Пусть ,,- радиус-векторы фиксированных точек: , и , лежащих в плоскости , а - радиус-вектор произвольной ее точки . Тогда, из условия компланарности векторов , , , находим
или по правилу вычисления смешанного произведения векторов
Если в качестве точек ,и выбрать точки пересечения плоскости с осями координат(т.е. положить - ,и ), то
Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , и .
Воспользовавшись уравнением плоскости, проходящей через три точки, находим
или
.
Окончательно: .
Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , и .
Поскольку точки и лежат на координатных осях при составлении уравнения плоскости удобно воспользоваться уравнением плоскости в отрезках. При этом и уравнение имеет вид
или .