Определение: Будем считать, что в линейном пространстве L задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу Î L по некоторому правилу ставится в соответствие элемент АÎ L.
Определение: Преобразование А называется линейным, если для любых векторов Î L и Î L и любого a верно:
A(+) = A+A
A(a) = aA
Пример. Является ли А линейным преобразованием. А=+; ¹ 0.
Запишем преобразование А для какого- либо элемента . А= +
Проверим, выполняется ли правило операции сложения для этого преобразования А(+) = ++; A() + A() = +++, что верно только при = 0, т.е. данное преобразование А нелинейное.