Модифицированный метод узловых потенциалов

В этом подразделе займемся модификацией узлового метода с целью обеспечения возможности составления уравнений цепи с произвольными идеальными элементами, т.е. рассмотрим метод, совмещающий достоинства узлового и табличного методов. Идея модификации метода заключена в разбиении элементов схемы на группы:

1) ветви, которые можно описать через проводимости (ток через них не будет определяться);

2) ветви, которые нельзя описать через проводимости, либо можно описать, но важно определить протекающий через них ток;

3) ветви независимых источников тока.

В результате решения будем искать напряжения узлов и токи ветвей второй группы . Напряжения ветвей можно определить позже по уравнению связи напряжений ветвей и узлов , а токи ветвей первой группы - на основании компонентных уравнений .

Как и в табличном методе, при расчете во временной области начальные токи в катушках индуктивности и напряжения на конденсаторах учитываются с помощью эквивалентных источников, следующих из преобразования Лапласа.

Итак, упорядочим элементы оговоренным выше образом и запишем уравнения Кирхгофа для токов в виде

. (4.11)

Уравнения для напряжений групп ветвей упорядочиваются аналогично:

. (4.12)

Это же уравнение можно расписать тремя независимыми уравнениями:

. (4.13)

Последнее уравнение используется для расчета напряжений на источниках тока. Компонентные уравнения для ветвей первой группы, как отмечалось выше, запишутся

. (4.14)

Запишем компонентные уравнения ветвей второй группы в виде

, (4.15)

где содержит ненулевые элементы только для источников напряжения. Перепишем уравнения Кирхгофа для токов (4.11) в виде

. (4.16)

Используя компонентные уравнения первой группы (4.14), преобразуем их к виду

. (4.17)

В уравнениях (4.17) и (4.15) напряжения на ветвях первой группы выразим через узловые напряжения первая формула (4.13):

, (4.18)

. (4.19)

Последние два уравнения запишем в матричном виде:

. (4.20)

Из узлового метода известно

; (4.21а)

, (4.21б)

где - матрица узловых проводимостей ветвей первой группы; - вектор эквивалентных узловых источников тока.

Конечная форма уравнений метода модифицированных узловых потенциалов имеет вид

. (4.22)

Таким образом, модифицированная узловая система представляет собой обычную узловую матрицу, построенную из ветвей первой группы и дополненную уравнениями ветвей второй группы по принципу модифицированных табличных уравнений. Вектор свободных членов соответственно представляет собой вектор эквивалентных узловых источников тока, дополненный напряжениями ветвей второй группы. Искомый вектор или вектор неизвестных содержит узловые напряжения и токи ветвей второй группы. Как следует из структуры уравнений, размерность системы равна , где - число ветвей второй группы.

Проиллюстрируем возможности модифицированного узлового метода на том же примере, что и для табличного метод (схема рисунка 4.2). Матрица инциденций и компонентные уравнения ветвей второй группы (независимый источник напряжения и источник напряжения , управляемый напряжением ) запишутся

Полная модифицированная узловая система уравнений для рассматриваемого примера примет вид

Заметим, что коэффициент заполнения для этого метода равен и существенно больше, чем у табличного метода.