Основные типы распределений НСВ

1) Равномерный закон распределения.

НСВ Х имеет равномерный закон распределения на отрезке , если её плотность вероятности на этом отрезке постоянна и равна 0 вне его:

Обозначение: X R (a; b).

Проверим условие нормировки:

Функция распределения:

1) ≤ a, тогда .

2) a < x ≤ b, тогда .

3) x > b, тогда

Таким образом:

f(x):

F(x):

Вероятность попадания в интервал (α;β):

Математическое ожидание:

=.

Таким образом,

Дисперсия:

Можно показать (самостоятельно), что

Среднее квадратическое отклонение:

=, тогда

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов, в ряде задач массового обслуживания.

Пример:

Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придётся не больше полминуты? Найти числовые характеристики случайной величины Х - времени ожидания поезда.

P(0 ≤ X ≤0,5) =.

2) Показательный закон распределения (экспоненциальный).

НСВ Х имеет показательный закон распределения с параметром λ > 0, если её плотность вероятности:

Обозначение: Х

Проверим условие нормировки:

Функция распределения:

1) x < 0, тогда F (x)=.

2) x ≥ 0, тогда

Таким образом,

f(x)

F(x)

Вероятность попадания в интервал (α;β):

P () = .

Математическое ожидание:

Можно показать (самостоятельно), что

Дисперсия:

Можно показать, что

Среднее квадратическое отклонение:

Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надёжности. Так, например, по показательному закону распределены следующие случайные величины: длительность телефонного разговора, срок безотказной работы прибора, продолжительность жизни атома радиоактивного вещества.

Пример:

Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина, распределённая по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения, среднее квадратическое отклонение.

=15, следовательно, λ=.

P (

Тогда,

= =15.

3) Нормальный закон распределения.

НСВ Х имеет нормальный закон распределения с параметрами m, σ, если на всей числовой оси её плотность вероятности:

Обозначение: X

Проверим условие нормировки:

=

==1, так как, (интеграл Пуассона).

Функция распределения:

Можно показать, что

где - функция Лапласа.

f(x)

F(x)

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Вероятность попадания в интервал:

Правило «трёх сигм».

Практически достоверное событие, что значения случайной величины, нормально распределенной с параметрами m и заключены в интервале (m-3σ; m+3σ).

Пример:

Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть случайная величина X . Найти , , долю костюмов 4-го роста (176; 182см), которую нужно предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы.

X тогда

, .

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. С помощью нормального закона получен ряд важных распределений (логарифмически-нормальное, хи-квадрат, распределение Стьюдента, распределение Фишера-Снедекора).