Отсутствие конечного оптимума

Пример 2.5. Решить симплексным методом задачу

при ограничениях:

Решение. Геометрическое решение этой задачи приведе­но в примере 1.2 б (см. рис. 1.5, б). На очередном шаге реше­ния этой задачи симплексным методом получаем:

основные переменные – ;неосновные переменные – ;

Х = (5/3; 7/3; 0; 0; 4) – базисное решение; .

Минимум не достигнут, так как критерий оптимальности на это условие не выполнен: переменная х ₃ имеет отрицательный коэф­фициент в выражении для F. Определяем х ₃ = min (¥,¥,¥) = ¥, т.к. в каждое из трех уравнений эта переменная входит с тем же знаком, что и свободный член. Уравнения не ограничивают рост х ₃, поэтому и значение функции F неограниченно и отрицательно, т.е. .

Из рассмотренного примера следует вывод: если на каком-либо шаге получаем, что во всех уравне­ниях системы бесконечны оценочные отношения той переменной, которая переводится в основные, то задача не имеет конечного оп­тимума (, если задача на отыскание максимума, и , если задача на отыскание минимума).

Подводя итоги, можно утверждать, что если система ограниче­ний непротиворечива, то выполнение конечного числа последовательных шагов симплексного метода либо приводит к нахожде­нию оптимального решения задачи (оно может быть неединственным), либо к установлению того факта, что линейная функция не имеет конечного оптимума.