Линейные уравнения с переменными коэффициентами вида
(6.8)
(6.9)
или
(6.10)
(6.11)
называются уравнением Эйлера. Здесь - постоянные коэффициенты.
С помощью подстановки
(6.12)
для уравнения (6.8), (6.9) и
(6.13)
для уравнения (6.10), (6.11) оба эти уравнения сводятся к уравнению с постоянными коэффициентами. Для этого необходимо вычислить производные, например, от (6.12) по новой переменной t:
, (6.14)
……………………………………………………………
.
Подставив значения(6.14) в уравнение (6.8), получим новое уравнение с постоянными коэффициентами
, (6.15)
которое называется преобразованным уравнением, по отношению к уравнению (6.8). Интегрируя это уравнение, находится решение и далее после возвращения к старой переменной в соответствии с формулой (6.12) - , найдем решение уравнения (6.8). Решения уравнений (6.9), (6.10), (6.11) находятся аналогичным способом.
Пример 6.2. Найти решение уравнения: .
▲ Полагая или , найдем .
Вычислим производные по новой переменной t, обозначив точками дифференцирование по t:
.
Подставив в исходное уравнение, получим
|
|
.
Следовательно, мы получили однородное линейное уравнение. Его характеристическое уравнение имеет корни . Поскольку корни действительные и кратные, с кратностью равной двум, то общее решение будет иметь вид:
.
Перейдя к переменной х, окончательно получим общее решение исходного уравнения
.▲
Пример 6.3. Найти решение уравнения:
.
▲ Полагая или , найдем .
Вычислим производные по новой переменной t, обозначив точками дифференцирование по t:
.
Подставив в исходное уравнение, получим
. (П6.3.1)
Это неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами и общее решение соответствующего ему однородного уравнения имеет вид
,
Поскольку характеристическое уравнение имеет двукратный корень равный единице: .
Частное решение уравнения (П6.3.1)можно получить методом неопределенных коэффициентов.
Поскольку параметры правой части неоднородного уравнения (П6.3.1) равны, соответственно, a =0, b = 1, q = 0, l = 0 и число не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, поэтому s =0, и m = max(q,l) = 0. Исходя из этого, можно выписать вид искомого частного решения:
Вычислим производные от
и подставив их в уравнение (П6.3.1), получим
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых функциях в правой и левой частях этого уравнения
Следовательно, частное решение уравнения (П6.3.1) имеет вид
,
а общее решение уравнения (П6.3.1) будет выглядеть так:
.
Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:
.▲
Частные решения однородного уравнения Эйлера (6.8), также можно получить, если использовать подстановку вида:
|
|
(6.16)
Вычислив производные
,
и подставив их в уравнение (6.8) и сокращая на , получим
(6.17)
Это уравнение п -ой степени относительно k имеет п корней: ; если все корни различны, то мы получаем п линейно независимых частных решений , следовательно, общее решение будет иметь вид:
. (6.18)
Пример 6.4. Найти решение уравнения:
.
▲ Ищем решение в виде , тогда уравнение (6.17) принимает вид:
,
откуда . Мы видим, что корни действительные и различные, поэтому общее решение при х > 0 имеет вид
.▲
Кроме того, уравнение (6.17) будет характеристическим уравнением для преобразованного уравнения (6.15)
,
так как . Следовательно, кратному корню кратности a уравнения (6.17) будут соответствовать частные решения преобразованного уравнения
а общее решение преобразованного уравнения будет иметь вид:
.
С учетом того, что , общее решение уравнения Эйлера принимает вид:
.
Пример 6.5. Найти решение уравнения: .
▲ Ищем решение в виде , тогда уравнение (6.17) принимает вид:
,
откуда Мы видим, что корни кратные с кратностью равной 2, поэтому общее решение при х > 0 имеет вид: .▲
Комплексным сопряженным корням кратности a уравнения (6.17) будут соответствовать частные решения
преобразованного уравнения или с учетом того, что частные решения
исходного уравнения Эйлера.
Пример 6.6. Найти решение уравнения: .
▲ Ищем решение в виде , тогда уравнение (6.17) принимает вид:
,
откуда , Мы видим, что корни комплексные, поэтому общее решение при х > 0 имеет вид
.▲
Пример 6.7. Найти решение уравнения:
.
▲ Это уравнение Эйлера вида (6.10), поэтому его решение ищем в виде , тогда уравнение (6.17) принимает вид:
,
откуда , Мы видим, что корни действительные и различные, причем среди них имеется двукратный корень-. Поэтому частными решениями будут
,
а общее решение имеет вид
.▲