Задача Коши для волнового уравнения, описывающего вынужденные колебания какого-либо трехмерного объекта
(15.14)
с начальными условиями
(15.15)
где – неизвестная функция; – заданные функции; - вектор с координатами (x, y, z), может быть решена методом Тейлора. Суть метода заключается в том, что решение поставленной задачи ищется в виде ряда
(15.16)
Если найти все функции , то по формуле (15.16) получим решение исходной задачи Коши. Заметим, что определяются из начальных условий (15.15), остальные коэффициенты можно найти по формуле
(15.17)
Пример 15.4. Найти решение уравнения
▲ Здесь
Так как и , то по (15.17)
Отсюда, при n = 0, получим
при n = 1, получим
при n = 2, получим
при n = 3, получим
при n = 4, получим
то есть, все остальные
Подставляем найденные в решение (15.16)
Окончательно,
▲
Пример 15.5. Найти решение уравнения
▲ Здесь Так как и , то по (15.17)
Найдем по этой формуле
И так далее, все остальные
Подставляем полученные в решение (15.16)
Таким образом, решением исходного уравнения является функция
▲