Независимые события и условные вероятности.
Пусть заданы пространство элементарных исходов W, содержащее n равновозможных элементарных исходов, событие А, содержащее mA исходов, событие В, содержащее mВ исходов, и произведение AB, которому благоприятствуют mAB исходов. Тогда
p (A) = mA/n; p (B) = mB/n; p (AB) = mAB/n.
Известно, чтоврезультате эксперимента произошло событие А;вэтих условиях нужно найти новую вероятность события В. Такая вероятность обозначается символом p (B / А) и называется условной вероятностью события B при условии, что произошло событие А.
Если произошло событие А, то произошел один из mA элементарных исходов, благоприятствующих этому событию. Следовательно, пространство элементарных исходов W сузилось до события A и содержит теперь не n,атолько mA исходов. Bo множестве A событию B благоприятствуют исходы, входящиевпроизведение AB, их количество равно mAB, поэтому
(3.4)
В примере 3.4.1 определялась именно условная вероятность события В.
Формулу (3.4) можно записать по-другому:
|
|
p (AВ) = p (A) p (B / А) = p (B) p (A / В). (3.5)
Формула (3.5) выражает собой так называемую теорему умножения вероятностей.
События A и B называются независимыми тогда и только тогда, когда
p (A / В) = p (A), p (B / А) = p (B). (3.6)
В случае независимых событий A и B теорема умножения вероятностей записывается совсем просто:
p (AВ) = p (A) p (B). (3.7)
Рассмотрим такой пример. Эксперимент заключаетсявбросании двух игральных костей, W = {(1,1), (1, 2),..., (6,6)}, n = 36. События A = {на первой кости выпало четное число очков} и B = {на второй кости выпало число очков, делящееся на 3} независимы, так как mA = 18, mB = 12, mAB = 6, p (A) = 1/2, p (B) = 1/3, p (AВ) = 1/6, p (AВ) = p (A) p (B).
Этот результат соответствует интуитивным представлениям о независимости исхода бросания одной кости от исхода бросания другой.
События, которые не являются независимыми, называются зависимыми.