Если выбрать в качестве интерполяционный многочлен Лагранжа с равноотстоящими узлами интерполяции, то полученные формулы численного интерполирования называют квадратными формулами Ньютона – Котеса.
Итак, имеем формулу численного интегрирования
(3)
Формула (3) будет формулой закрытого типа, если концы отрезка интегрирования являются узлами интерполяции и открытого типа, если хотя бы один из концов не является узлом интерполяции.
Запишем многочлен Лагранжа в краткой форме
,
Тогда
Где
не зависят от функции, а только от узлов интерполяции. Будем рассматривать равноотстоящие узлы с шагом h.
Многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов имеет вид:
Где
Для коэффициентов окончательно получим:
(4)
Коэффициенты (4) и есть коэффициенты Котеса. Их можно подсчитать при различных т.
Пусть n=1. имеем 2 узла интерполяции и два коэффициента Котеса и .
При n=2 имеем три узла коэффициента Котеса.
3. частные случаи численного интегрирования.
1) формула средних прямоугольников.
|
|
Подынтегральную функцию заменим интерполяционным многочленом Лагранжа нулевой степени
,
n=0, имеем один узел интерполяции, пусть
по условию интерполирования
Тогда
(5)
Формула (5) и есть формула средних прямоугольников.
Геометрический смысл заключается в том, что площадь криволинейной трапеции заменяется на площадь прямоугольника.
y
f((a+b)/2)
a 0 (a+b)/2 b x
Замечание: можно получить ещё две формулы открытого типа. Если в качестве узла интерполирования выбрать или
При
- формула левых прямоугольников (5’)
При
- формула правых прямоугольников. (5’’)
Погрешность формулы средних прямоугольников.
Теорема: если функция имеет на непрерывные производные до второго порядка включительно, то
, ,
Доказательство
Так как функция имеет непрерывные производные до второго порялка, то по формуле Тейлора имеем:
Правая часть дает погрешность метода. Применяя теорему о среднем значении интеграла, будем иметь:
Теорема доказана.
Если найдется число , такое, что , то получим оценку погрешности
2) формула трапеций.
Подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени.
n=1, имеем два узла интерполирования. Выберем и . По формуле Ньютона – Котеса получим:
(7)
Формула (7) и есть формула трапеции. Геометрический смысл формулы трапеций заключается в том, что за площадь криволинейной трапеции принимается площадь прямоугольной трапеции.
Погрешность формулы трапеций.
При n=1 , - остаточный член формулы Лагранжа.
Теорема: если функция f(x) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно, на отрезке , то погрешность
|
|
Доказательство:
Как и в предыдущем случае, применяя формулу Тейлора и, воспользовавшись теоремой о среднем значении интеграла, получим:
Если для , то получим оценку погрешности метода:
(8)
3) формула парабол (Симпсона).
Подынтегральную функцию заменим интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени
, имеем три узла интерполяции. Выберем ,
Узлы равноотстоящие, шаг . Имеем три коэффициента Котеса
По формуле Ньютона – Котеса будем иметь:
(9)
Формула (9) и есть формула парабол (Симпсона).
Геометрический смысл заключается в том, что график функции заменяется графиком многочлена Лагранжа второй степени (параболой) на отрезке . При вычислении интеграла по формуле (9)его численное значение будет равно площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху дугой параболы, проходящей через точки
Погрешность формулы парабол.
Теорема: если функция имеет на отрезке непрерывные производные до четвертого порядка включительно, то погрешность формулы парабол можно вычислить по формуле:
, ,
Если для , то получим оценку погрешности метода:
(10)
Для увеличения точности при вычислении интеграла применяют следующий прием: отрезок интегрирования разбивают на достаточно большое число мельких промежутков и к каждому из частичных отрезков применяют квадратурную формулу Ньютона – Котеса с малым n. Получают формулы простой структуры, которые называют обобщенными формулами.
5. Обобщенные формулы численного интегрирования.
1) обобщенная формула средних прямоугольников.
Разделим отрезок интегрирования на n равных частей, получим отрезки
Шаг интегрирования . На каждом частичном отрезке применяем ранее полученную элементарную формулу средних прямоугольников и результаты складываем, таким образом, будем иметь обобщенную формулу средних прямоугольников.
(11)
Если за узел интерполирования на каждом частичном отрезке брать левый конец, то получим , и
- обобщенная формула левых прямоугольников (11a)
Если же за узлы выбирать правые концы, то и
- обобщенная формула правых прямоугольников (11в)
Погрешность обобщенной формулы средних прямоугольников.
На каждом частичном отрезке допускаемая погрешность вычисляется по формуле (6), имеем n частичных отрезков. Сложив погрешности, будем иметь:
(12)
Если удвоить число точек деления, то погрешность уменьшится в 4 раза.
- верхняя граница второй производной на отрезке .
2) обобщенная формула трапеций.
Отрезок интегрирования разобьем на n равных частей точками , получим шаг интегрирования .
На каждом частичном отрезке применим элементарную формулу трапеций и полученные результаты просуммируем.
(13)
Это и есть обобщенная формула трапеций.
Погрешность обобщенной формулы трапеций.
Допускаемая погрешность на каждом частичном отрезке вычисляется по формуле (10), тогда для всего отрезка получим:
(14)
Если удвоить число точек деления, то погрешность уменьшится в 4 раза.
3) обобщенная формула парабол.
Точность приближенного интегрирования заметно возрастает, если подынтегральную функцию на каждом частичном отрезок заменить квадратичной функцией. Разбиваем отрезок интегрирования на n равных частей, а затем каждый полученный отрезок делим еще пополам. В общем случае получили четное число 2n отрезков. Применим формулу (9) к каждой паре смежных отрезков разбиения.
Суммируя равенства, получим обобщенную формулу парабол:
(15)
Погрешность обобщенной формулы парабол.
На каждой паре смежных отрезков погрешность оценивается по формуле (10), имеем n пар, тогда
(16)
На практике, если задача решается с использованием компьютера, погрешность вычисляется по формуле практической оценки погрешности, основанной на двойном просчете.
|
|
, где
- значение определенного интеграла, вычисленное при разбиении на n (n - четное).
- значение определенного интеграла, вычисленное при разбиении на 2n частей.