П.2. Понятие о системах счисления. Системы счисления, применяемые в цифровых ЭВМ

Под системой счисления понимается способ записи чисел с помощью определенного набора знаков (цифр). Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные. Например, Арабская система счисления является позиционной, а Римская система счисления - непозиционной.

В позиционной система счисления значение каждой цифры, входящей в запись числа, зависит от ее положения (позиции) в ряду цифр, изображающих это число. Например, в числе 777 первая слева семерка означает количество сотен, содержащихся в числе, вторая - количество десятков, третья - количество единиц.

В Римской системе счисления значение цифры не зависит от ее положения в записи числа. Пример, число ХХХ. Здесь цифра Х в любом месте означает число десять (а вся запись - число 10+10+10+30).

Непозиционные системы счисления неудобны для вычислений, поэтому в вычислительной технике используются только позиционные системы счисления.

Пусть p - некоторое целое число, большее 1, которое будем называть основанием системы счисления. Принимая за основание системы счисления различные числа (десять, восемь, пять, два и др.), получим соответственно десятичную, восьмеричную, пятиричную, двоичную и другие системы счисления. Количество различных цифр, применяемых в позиционной система счисления, равно основанию p. Например, в десятичной системе счисления используются десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9; в пятиричной - пять цифр:0,1,2,3,4 и т.д.

Любое число в позиционной системе счисления записывается в виде последовательности цифр, разделенных запятой на целую и дробную части. С помощью этих цифр числа записываются в сокращенной форме. Например, запись 6207,3 представляет собой следующую сумму:

6207,3=6·10³+2·10²+0·10¹+7·10⁰+3·10^-1.

Слева от знака равенства число записано в сокращенной записи, а справа - в виде суммы степеней десяти с соответствующими коэффициентами (полная запись числа). Как видим, в сокращенной записи число изображается с помощью коэффициентов, стоящих перед степенями основания системы счисления.

Чтобы получить сокращенную запись числа в любой системе счисления, его надо представить в виде суммы степеней основания системы счисления с соответствующими коэффициентами:

N_p=K _n·pⁿ+ K _n-1·p^n-1+...+ K _i·pⁱ+...+ K ₁·p¹+ K ₀·p⁰+ K _-1·p^-1+... (1)

Здесь: N_p - число в p-ичной системе счисления; p - основание системы; i - номер разряда; K _i - коэффициент, стоящий в i-ом разряде.

Сокращенная запись числа N_p будет иметь вид:

N_p= K _nK _n-1...K _i...K ₁K _0,K _-1... (2)

Двоичная система счисления. Двоичная система счисления имеет только две цифры: 0 и 1. Это минимальное количество цифр, которое может быть принято в системе счисления. Основание системы два записывается как 10₂.

В соответствии с выражением (1) число N₂ представляет собой сумму:

N₂=K _n·2ⁿ+ K _n-1·2^n-1+...+ K _i·2ⁱ+...+ K ₁·2¹+ K ₀·2⁰+ K _-1·2^-1+...

Здесь коэффициенты K _i (i=n, n-1,...) могут принимать только два значения: 0 и1. Запишем теперь в двоичной системе счисления число 85:

85=1·2⁶+0·2⁵+1·2⁴+0·2³+ 1·2²+ 0·2¹+1·2⁰, или 85 = 1010101₂.

Восьмеричная система счисления. Цифры - 0,1,2,3,4,5,6,7. Число восемь (основание системы) записывается двумя цифрами как 10, т.е. 8=10₈.

Запишем в восьмеричной системе число восемьдесят пять (85). В соответствии с выражением (1) разложим число 85 по степеням основания:

85=1·8²+2·8¹+5·8⁰

Коэффициенты перед степенями восьмерок дадут сокращенную запись числа: 85=125₈ (индекс снизу указывает основание системы счисления; для десятичной системы счисления индекс можно не указывать).

Шестнадцатиричная система счисления. Для написания шестнадцатиричных чисел требуется 16 различных цифр. Десять первых из них совпадают с соответствующими цифрами десятичной системы: 0,1,...,9. Для обозначения шести следующих цифр, отвечающих значениям десятичных чисел 10, 11, 12, 13, 14, 15 используются буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F соответственно.

Число шестнадцать (основание системы) записывается как 10₁₆.

Запишем в шестнадцатиричной системе число 85.

85=5·16¹+5·16⁰=55₁₆.

Сделаем еще два примера:

500 = 1·16²+15·16¹+4·16⁰=1F4₁₆.

971 = 3·16²+12·16¹+11·16⁰=3CB₁₆.

Аналогичным образом будут записываться числа в системах счисления с другими основаниями. Справа даётся таблица (табл.3.1.), в которой для сравнения приводятся записи чисел от нуля до двадцати в различных системах счисления - p=10, 2, 3, 5, 8, 16.