Арифметические свойства предела функции.
Пусть функции f и g определены на интервале (a, b), кроме быть может точки x 0. Если существует пределы
и ,
то существуют пределы в левых частях равенств и имеют место эти равенства:
a.
б.
Эти свойства вытекают из определения Гейне предела функции и соответствующих свойств сходящихся последовательностей.
2. Если
,
то существует проколатая окрестность точки , где функция f (x) ограничена.
Действительно, если взять = 1 0, то из существования конечного предела следует, что существует 0, что для всех x: 0 | x - x 0 | , выполняется | f (x) - A | 1, отсюда, | f (x) | - | A | | f (x) - A | 1, т.е.
3. Если
,
то существует проколотая окрестность точки , что для всех x :
Действительно, возьмем 0, тогда из существования конечного предела, следует, что существует
окрестность , что для всех x :
4. Свойства, связанные с неравенствами.
Если
,
и для всех x : f (x) g (x), то A B
Если
= = A
и для всех x : , то существует
Доказательства этих свойств следуют из следующих свойств для сходящихся последовательностей и определения предела функции по Гейне.
|
|