Здесь в поперечных сечениях бруса могут быть , , , а . Косой изгиб может быть чистым, когда вдоль бруса отсутствуют = и поперечным, когда и , а переменны по длине бруса. Косой изгиб может быть плоским, когда вся внешняя нагрузка лежит в одной плоскости и не плоским, когда нагрузки в плоскостях и изменяются произвольно по длине бруса.
Величины и знаки , , и в любом сечении бруса определяются из эпюр. Введем понятие полный изгибающий момент, определяемый так
(7.3)
Если и представить в виде векторов (длина векторов определяет величину и , а направления по правилу правого «буравчика»), то есть геометрическая сумма и , что показано на рис. 7.5. Положение удобно определять углом , который он составляет с осью ( отсчитывается от оси против хода часовой стрелки). Из рис. 7.5 видно:
Рис.7.5 | (1) Отсюда (2) Нормальное напряжение в любой точки сечения с координатами и определяется по формуле (7.2), полагая в ней (7.4) |
С учетом (1) (7.5)
Рис.7.6 | В формулы (7.4) и (7.5) все надо подставить со своими знаками: знаки и берутся из эпюр, всегда. Величина и знак определяется из формулы (2). Во многих случаях известны величина и направле-ние поперечной нагрузки ( или ), направлениях их будем определять углом , отсчи-тываемый от оси (рис. 7.6), |
против хода часовой стрелки. В произвольном сечении балки на расстоянии от торца от возникнет , который с направлением составляет угол 90°, а с осью угол , т.е. . Зная и , можно вычислять по (7.5). Но проще силу разложить по осям и , т.е. , (видно из рис. 7.6). От строят эпюру , а от эпюру и далее определяют по формуле (7.4). Аналогично и от погонной нагрузки : , от эпюру , от эпюру .
|
|
Нейтральная ось (Н.О)
Нейтральная ось – линия в сечении балки, относительно которой сечение поворачивается, оставаясь плоским (гипотеза Бернулли). Обозначим координаты точек на нейтральной оси через . Согласно определения Н.О в этих точках . Подставляя , в (7.5), сокращая на получим
(3)
Это уравнение Н.О. Видно, что это уравнение прямой линии проходящей через начало координат, т.к. при должно быть . Положение Н.О удобно определять через угол ее наклона к одной из осей координат. Обозначим угол наклона Н.О к оси (рис. 7.7), против хода часовой стрелки.
Рис.7.7 | Из рис. 7.7 видно (4) Из (3) следует (5) С учетом (4) получим (7.6) Плоскость изгибающей нагрузки перпендику-лярна , а плоскость изгиба (прогибов) пер- |
пендикулярна Н.О. При эти плоскости не совпадают , поэтому эту деформацию и назвали «косой изгиб». При (сечение квадратное, круглое и т.д.) и косого изгиба не будет.
Определение напряжений. Расчеты на прочность.
|
Рис.7.8
Далее точки соединяют прямыми линиями, т.к. из (7.4) и (7.5) видно, что линейны по координатам и . Итак, Н.О делит сечение на две зоны, растянутую и сжатую (–) (рис. 7.8).
|
|
Для построение эпюры перпендикулярно Н.О проводят линию . В т. «» в масштабе откладывают , а в т. «а» и далее соединяют их прямой линией.
Из эпюр видно, что экстремальные напряжения возникают в точках сечения, наиболее удаленных от Н.О. Это будут т.1 и т.3. В них и по (7.4)
где
Итак, в т.1 и т.3 сечения равны по величине и противоположны по знаку
(7.7)
Здесь знак выбирают по физическому смыслу, в растянутой зоне, (–) в сжатой. Аналогично определяются в других сечения с выступающими углами.
Для балок из пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, условие прочности в опасном сечении бруса можно записать так с учетом (7.7)
(7.8)
При подборе размеров сечения балки используем вторую формулу (7.8), при этом надо задать отношение с учетом рационального расположения сечения: для прямоугольника при (размер вдоль оси ) если то ; если , то размер вдоль оси (т.е. повернуть на 90°) и . Условие прочности одно, а неизвестных два и , поэтому сами задаем отношение . Зная по (7.8) вычисляем необходимый , а по нему размеры и с учетом отношения . При подборе стандартных двутавров и швеллеров аналогично: если сечение располагаем вертикально, как в таблицах ГОСТа и берем: для двутавров , для швеллеров ; если сечение располагаем горизонтально и для двутавров , для швеллеров . Далее по (7.8) находимый необходимый и по нему стандартный номер профиля (в первом случае , во втором ). Определив номер профиля, делаем его проверку по первой формуле (7.8), подставляя табличные значения и из ГОСТа с учетом вышеуказанного в скобках. Можно учесть , добавив .
Для произвольного сечения условия прочности имеют вид : надо найти наиболее удаленные от Н.О точки сечения, найти в них и сравнить их с допускаемыми.
Для балок из хрупких материалов отдельно делается проверка прочности в растянутой (р) и сжатой (сж) зонах, т.к. для них . Размеры произвольного сечения определяются методом попыток (подбором). При каждой попытке необходимо уточнить положение Н.О и координаты точек сечения с .
Определение прогибов
Определяют закон изменения прогибов в плоскости как указано в разделе 5, используя известное уравнение и метод Клебша. Далее определяют прогибы в горизонтальной плоскости используя метод Клебша и аналогичное уравнение . Полный прогиб «» в любом сечении балки найдем геометрическим сложеним прогибов и в каждом сечении: . Вычислив «» в нескольких сечениях по длине балки, строят изогнутую ось балки и проверяют ее жесткость.